Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các bài BĐT - GTLN GTNN thi thử đại học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 95 trả lời

#21 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 18-06-2013 - 21:27

Ủng hộ Kiên Tờ mờ 1 bài :D

 

Bài 9 : Xét các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 3y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Các anh chị cho em làm với :(

Áp dụng BĐT $\frac{1}{t^2}+\frac{1}{p^2}\geq \frac{8}{(t+p)^2}$, ta có

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{8}{(x+\frac{y}{2}+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq \frac{64}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}$

(1)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $3y+6=(x^2+1)+(y^2+4)+(z^2+1)\geq 2x+4y+2x\Rightarrow 6\geq 2x+y+2z\Rightarrow 3\geq x+\frac{y}{2}+z$ 

(2)

 

Từ (1) và (2) suy ra GTNN của P là $1$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=z=1, y=2$


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#22 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 18-06-2013 - 21:31

Ủng hộ Kiên Tờ mờ 1 bài :D

 

Bài 9 : Xét các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 3y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Tham khảo thêm 2 cách ở đây

http://diendantoanho...ac4y22frac8z32/


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#23 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 19-06-2013 - 13:14

Còn bài 7 nữa nhé mọi người, với lại post đề mới thì phải ghi rõ nguồn bài nhé. Cảm ơn các bạn.


ĐCG !

#24 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 19-06-2013 - 13:17

Bài 10. Cho $a;b;c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$, tìm GTLN của biểu thức

 

$$F=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+a+c}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}$$

 

 

Đề số 9 - THTT - 2013


ĐCG !

#25 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 19-06-2013 - 14:50



Bài 10. Cho $a;b;c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$, tìm GTLN của biểu thức

 

$$F=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+a+c}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}$$

 

 

Đề số 9 - THTT - 2013

 

Ta có: $(a^{2}+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^{2}$ 

 

Tương tự: $(b^{2}+a+c)(1+a+c)\geq (a+b+c)^{2}$

 

                $(c^{2}+a+b)(1+a+b)\geq (a+b+c)^{2}$

 

Do đó:

 

$P\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky ta có:

 

$(a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+a+c}+c\sqrt{1+a+b})^{2}\leq (a+b+c)(a+b+c+2(ab+bc+ca))\leq (a+b+c)\left [ (a+b+c)+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2} \right ]$

 

 

Do đó: $P\leq \sqrt{\frac{a+b+c+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}}{a+b+c}}=\sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}$

 

           $P\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}(a+b+c)}\leq \sqrt{1+\frac{2}{3}\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=\sqrt{3}$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 19-06-2013 - 15:14


#26 phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển
  • Sở thích:Toán học và cuộc sống

Đã gửi 19-06-2013 - 15:40

Bài 11: Cho các số thực $a,b,c\geq 0 $ thỏa $ c>0 ,a^3+b^3 =c(c-1)$.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$
(Đề 2 - Onluyentoan.vn - 2012)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 19-06-2013 - 15:41


#27 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 19-06-2013 - 22:31

Ủng hộ topic thêm 1 bài nữa

Bài 12: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\frac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+1}}$

(Đề thi thử trường Đại học Sư Phạm lần 1 năm 2011)


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#28 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 20-06-2013 - 15:05

Ủng hộ topic thêm 1 bài nữa

Bài 12: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\frac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+1}}$

(Đề thi thử trường Đại học Sư Phạm lần 1 năm 2011)

 

Ta có

 

$$P.\left ( \sum a \sqrt{b^2+1} \right )=\left ( \frac{a^3}{a^2\sqrt{b^2+1}}+\frac{b^3}{b^2\sqrt{c^2+1}}+\frac{c^3}{c^2\sqrt{a^2+1}} \right ).\left ( a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{c^2+1}+c\sqrt{a^2+1} \right )  \\  \geq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2=9$$

 
Mặt khác
 
$$\left (  \sum a\sqrt{b^2+1} \right )^2 \leq \left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( a^2+b^2+c^2+3 \right )\leq 18$$
 
Từ đây dễ có
 
$$P \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$$
 
Bài toán được giải quyết. $\blacksquare$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 15:33

ĐCG !

#29 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 20-06-2013 - 15:49



Bạn phải gõ số bài + nguồn bài nhé. 2 bài bạn post lần lượt là bài 5,6.

 

_____

 

Bài 7. Cho các số dương $a \neq b$ thỏa mãn $a^2+2b=12$. Tìm GTNN của 

 

$$P=\frac{4}{a^4}+\frac{4}{b^4}+\frac{5}{8(a-b)^2}$$

 

Đề thi thử lần 4 - Chuyên ĐH Vinh

 

Chém nốt bài này.

 

Dự đoán đẳng thức tại $a=2$ và $b=4$, tức là $b=2a$. Cái khó của bài chính là đại lượng $(a-b)^2$. Ta sẽ "khử" nó bằng công cụ quen thuộc. Đưa về một biến + đạo hàm.

 

Ta có $12=a^2+b+b \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2} \Longleftrightarrow a^2b^2 \leq 64$. Từ đây dễ thấy $\frac{a^2b^2}{64} \leq 1$

 

Ta sẽ " đồng bậc " bất đẳng thức như sau

 

$$P \geq \frac{a^2b^2}{64}\left ( \frac{4}{a^4}+\frac{4}{b^4} \right )+\frac{5}{8}.\frac{ab}{8(a-b)^2}$$

 

Đến đây cũng đi được nửa đoạn đường rồi. Ta biến đổi $P$ một lần nữa.

 

$$P=\frac{1}{64}\left ( 4\frac{a^2}{b^2}+4\frac{b^2}{a^2} +\frac{5}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}\right )$$

 

Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} =t \ \ \ t > 2$ ta có $P \geq \frac{1}{8}\left ( t^2-2 \right )+\frac{5}{64}.\frac{1}{t-2}$

 

Đặt $P=f(t) \ \ \ t>2$ dễ có $f'(t)=0 \Longleftrightarrow t=\frac{5}{2}$. Kẻ bảng biến thiên suy ra $f(t) \geq \frac{27}{64}$

 

Vậy $Min_P=\frac{27}{64}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=2$ và $b=4$. $\blacksquare$

 

Nhận xét

 

Đây là một bài toán khó. Kể cả khi đồng bậc và biến đổi được, thì cũng phải cân nhắc để đặt ẩn cho đúng điểm rơi của đẳng thức. Ta thấy rằng có thể đặt $\frac{a}{b}=t$ nhưng ta khó có thể đặt điều kiện cho $t$ và đạo hàm $f(t)$ cũng không có $f'\left ( \frac{1}{2} \right )$ bằng $0$. Vì vậy ta phải đặt ẩn như trong lời giải trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 20-06-2013 - 15:52

ĐCG !

#30 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 20-06-2013 - 16:10

Đổi vị một chút nha các bạn :P

 

 

Bài 12. Cho các số $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ và $n\leq 3$. Chứng minh rằng

 

$$a^2c+b^2a+c^2b+\frac{3n}{a+b+c} \geq 3+n$$

 

Chuyên Hạ Long - Lần 2 - 2013


ĐCG !

#31 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 20-06-2013 - 16:18



Đổi vị một chút nha các bạn :P

 

 

Bài 12. Cho các số $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ và $n\leq 3$. Chứng minh rằng

 

$$a^2c+b^2a+c^2b+\frac{3n}{a+b+c} \geq 3+n$$

 

Chuyên Hạ Long - Lần 2 - 2013

Dễ thấy $VT-VP \geqslant \frac{(a+b+c-3)(a+b+c-n)}{a+b+c} \geqslant 0$

Do AM-GM ta có $a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3 \geqslant n$

Đẳng thức vẫn xảy ra khi $a=b=c=1, n\leqslant 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 16:27

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#32 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 20-06-2013 - 16:21



Dễ thấy $VT-VP=\frac{(a+b+c-3)(a+b+c-n)}{a+b+c} \geqslant 0$

Do AM-GM ta có $a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3 \geqslant n$

Đẳng thức vẫn xảy ra khi $a=b=c=1, n\leqslant 3$

 

Mình thấy không thấy " dễ" lắm đâu. Bạn hãy biến đổi một vài bước cơ bản, hoặc đẳng thức bạn dùng để có điều đó nhé.

 

P/S: Mọi người giải bài chịu khó giải chi tiết + nhấn mạnh chỗ đáng lưu ý nhé. Đây là topic ôn thi ĐH gồm nhiều thành phần xem, không phải ai cũng khá BĐT, như mình chẳng hạn :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T M: 20-06-2013 - 16:40

ĐCG !

#33 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 20-06-2013 - 16:35



Anh không thấy " dễ" lắm đâu. Em hãy biến đổi một vài bước cơ bản, hoặc đẳng thức em dùng để có điều đó nhé.

 

P/S: Mọi người giải bài chịu khó giải chi tiết + nhấn mạnh chỗ đáng lưu ý nhé. Đây là topic ôn thi ĐH gồm nhiều thành phần xem, không phải ai cũng khá BĐT, như mình chẳng hạn :P

Trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau 

                     $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant a+b+c$ (*)

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^2b}{b^2c}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}=3a$

                                 $\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant 3b$

                                 $\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 3c$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có (*) được chứng minh

BDT ban đầu tương đương với 

       $\frac{(a^2c+b^2a+c^2b)(a+b+c)+3n-(3+n)(a+b+c)}{a+b+c} \geqslant 0$

$\Leftrightarrow (a^2c+b^2a+c^2b)(a+b+c)+3n-(3+n)(a+b+c) \geqslant 0$

Do $abc=1$ nên ta có $a^2c+b^2a+c^2b=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Áp dụng (*) ta có $(a^2c+b^2a+c^2b)(a+b+c)+3n-(3+n)(a+b+c) \geqslant (a+b+c)^2+3n-(3+n)(a+b+c)=(a+b+c-3)(a+b+c-n) \geqslant 0$

Bất đẳng thức trên luôn đúng do AM-GM 

                $a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3 \geqslant n$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ và $n \leqslant 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 16:42

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#34 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 20-06-2013 - 16:36

Một bài nhẹ nhàng nữa nhé

 

Bài 13. Cho các số thực $x;y;z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTLN của 

 

$$F=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{5y+5z}+\sqrt{7z+3x^2}$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 1 - 2013


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 16:42

ĐCG !

#35 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 20-06-2013 - 16:40

Một bài nhẹ nhàng nữa nhé

 

Bài 13. Cho các số thực $x;y;z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTLN của 

 

$$F=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{5y+5z}+\sqrt{7z+3x^2}$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 1 - 2013

Áp dụng BĐT Cacuhy-Schwarz, ta có $F\leq \sqrt{3(3x^2+7y+5y+5z+7z+3x^2)}=\sqrt{3(6x^2+12y+12z)}\leq \sqrt{3(6x^2+6y^2+6+6z^2+6)}=3\sqrt{10}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Vậy GTLN của F là $3\sqrt{10}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 20-06-2013 - 16:42

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#36 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 20-06-2013 - 16:47

Tiếp tục là một bài quen thuộc nhé.

 

Bài 14. Cho $a;b;c$ là các số thực, chứng minh rằng

 

$$\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right ) \geq 3\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2013

Bài này cũng khá nhiều cách tiếp cận.


ĐCG !

#37 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 20-06-2013 - 17:01



Tiếp tục là một bài quen thuộc nhé.

 

Bài 14. Cho $a;b;c$ là các số thực, chứng minh rằng

 

$$\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right ) \geq 3\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2013

Bài này cũng khá nhiều cách tiếp cận.

Bài này quả là có rất nhiều cách tiếp cận, em xin trình bày 2 cách :)

Cách 1:Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(a^2+2)\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\geq (a+b+c)^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $3\left [ 1+\frac{(b+c)^2}{2} \right ]\leq (b^2+2)(c^2+2)\Leftrightarrow (bc-1)^2+\frac{(b-c)^2}{2}\geq 0$

BĐT này hiển nhiên đúng. Ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cách 2:Theo nguyên lí Đi-rích-lê thì trong 3 số $a^2-1, b^2-1, c^2-1$ phải có 2 số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là $a^2-1$ và $b^2-1$

Suy ra $(a^2-1)(b^2-1)\geq 0$ nên ta có $a^2b^2+1\geq a^2+b^2$

Do đó $(a^2+2)(b^2+2)=a^2b^2+2(a^2+b^2)+4\geq 3(a^2+b^2+1)$

Ta chỉ cần chứng minh $(a^2+b^2+1)(c^2+2)\geq (a+b+c)^2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $(a^2+b^2+1)(2+c^2)=(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq (a+b+c)^2$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 20-06-2013 - 17:02

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#38 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 20-06-2013 - 19:01

Bài 14. Cho $a;b;c$ là các số thực, chứng minh rằng

 

$$\left ( a^2+2 \right )\left ( b^2+2 \right )\left ( c^2+2 \right ) \geq 3\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 4 - 201

Bất đẳng thức có thể làm mạnh hơn như sau : 

   $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ac)$

Chứng minh trên ta chỉ cần áp dụng AM-GM và sử dụng bổ đề hết sức quen thuộc 

                  $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geqslant 2(ab+bc+ac)$

Bài toán mở rộng đã được thảo luận trên Mathlinks

Tìm hằng số $k$ tốt nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng 

                  $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant k(a^2+b^2+c^2)+(9-k)(ab+bc+ac)$

Bài toán trên ứng với $k=4$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#39 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 20-06-2013 - 19:29

Bài 15 : Cho $a,b,c \in \left [ 2;4 \right ]$

Tìm GTLN của $P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc(a+b+c)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 20-06-2013 - 19:29

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#40 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 21-06-2013 - 20:24

Bài 16 : Cho $a\geq 4;b\geq 5;c\geq 6;a^{2}+b^{2}+c^{2}=90$.Tìm GTNN của $P=a+b+c$.

                                                                                                                          

                                                                                                    Thi thử lần $2$ THPT Đông Sơn 1-2013.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 22-06-2013 - 16:01

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh