Cho $0 < a \leq b \leq c \leq d \leq e $ và a + b + c + d + e = 1.
#1
Đã gửi 18-06-2013 - 18:11
- Kaitou Kid 1412 yêu thích
#2
Đã gửi 18-06-2013 - 18:29
Cho $0 < a \leq b \leq c \leq d \leq e $ và a + b + c + d + e = 1.CM: $a(bc + be + cd + de) + cd(b + e - a) \leq \dfrac{1}{25}$
Áp dụng AM-GM ta có
$a(bc+be+cd+de)+cd(b+e-a) \leqslant a.\frac{(b+c+d+e)^2}{4}+(\frac{c+d+b+e-a}{3})^3=\frac{a(1-a)^2}{4}+\frac{(1-2a)^3}{27}=f(a)$
Đến đây ta khảo sát $f(a)=\frac{a(1-a)^2}{4}+\frac{(1-2a)^3}{27}$ với $ 0 <a \leqslant \frac{1}{5}$
Ta có $f(a)=\frac{a^3-2a^2+a}{4}+\frac{1-8a^3-6a+12a^2}{27}=\frac{-5a^3}{108}-\frac{a^2}{18}+\frac{a}{36}+\frac{1}{27}$
Do đó ta sẽ chứng minh $\frac{-5a^3}{108}-\frac{a^2}{18}+\frac{a}{36}+\frac{1}{27} \leqslant \frac{1}{25}$
$\Leftrightarrow (5a+8)(5a-1)^2 \geqslant 0$
Nhưng rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $a>0$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=e=\frac{1}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 18-06-2013 - 22:28
- phanquockhanh, Kaitou Kid 1412 và 200dong thích
#3
Đã gửi 18-06-2013 - 21:11
Áp dụng AM-GM ta có
$a(bc+be+cd+de)+cd(b+e-a) \leqslant a.\frac{(b+c+d+e)^2}{4}+(\frac{c+d+b+e-a}{3})^3$
Chỗ này tớ k hiểu lắm, cậu ghép cái gì với cái gì thế?
#4
Đã gửi 18-06-2013 - 21:19
Chỗ này tớ k hiểu lắm, cậu ghép cái gì với cái gì thế?
Tớ sử dụng bất đẳng thức sau $xy+yz+xz+zt \leqslant \frac{(x+y+z+t)^2}{4}$
Và áp dụng AM-GM cho 3 số dương $c,d,b+e-a$, sử dụng $xyz \leqslant (\frac{x+y+z}{3})^3=\frac{(x+y+z)^3}{27}$
- Kaitou Kid 1412 và 200dong thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh