Chủ đề này có 3 trả lời

[200dong]

Cho $0 < a \leq b \leq c \leq d \leq e $ và a + b + c + d + e = 1.

 

CM: $a(bc + be + cd + de) + cd(b + e - a) \leq \dfrac{1}{25}$

 

[25 minutes]

 

Cho $0 < a \leq b \leq c \leq d \leq e $ và a + b + c + d + e = 1.

 

CM: $a(bc + be + cd + de) + cd(b + e - a) \leq \dfrac{1}{25}$

 

Áp dụng AM-GM ta có

 $a(bc+be+cd+de)+cd(b+e-a) \leqslant a.\frac{(b+c+d+e)^2}{4}+(\frac{c+d+b+e-a}{3})^3=\frac{a(1-a)^2}{4}+\frac{(1-2a)^3}{27}=f(a)$

Đến đây ta khảo sát $f(a)=\frac{a(1-a)^2}{4}+\frac{(1-2a)^3}{27}$ với $ 0 <a \leqslant \frac{1}{5}$

Ta có $f(a)=\frac{a^3-2a^2+a}{4}+\frac{1-8a^3-6a+12a^2}{27}=\frac{-5a^3}{108}-\frac{a^2}{18}+\frac{a}{36}+\frac{1}{27}$

Do đó ta sẽ chứng minh $\frac{-5a^3}{108}-\frac{a^2}{18}+\frac{a}{36}+\frac{1}{27} \leqslant \frac{1}{25}$

                      $\Leftrightarrow (5a+8)(5a-1)^2 \geqslant 0$

Nhưng rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $a>0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=e=\frac{1}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 18-06-2013 - 22:28

[200dong]

Áp dụng AM-GM ta có

 $a(bc+be+cd+de)+cd(b+e-a) \leqslant a.\frac{(b+c+d+e)^2}{4}+(\frac{c+d+b+e-a}{3})^3$

 

 

Chỗ này tớ k hiểu lắm, cậu ghép cái gì với cái gì thế? 

[25 minutes]

Chỗ này tớ k hiểu lắm, cậu ghép cái gì với cái gì thế? 

Tớ sử dụng bất đẳng thức sau $xy+yz+xz+zt \leqslant \frac{(x+y+z+t)^2}{4}$

Và áp dụng AM-GM cho 3 số dương $c,d,b+e-a$, sử dụng $xyz \leqslant (\frac{x+y+z}{3})^3=\frac{(x+y+z)^3}{27}$