cho a,b,c >0 chứng minh rằng
$1<\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 20-06-2013 - 14:39
$1<\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$
Bắt đầu bởi pmtlm, 19-06-2013 - 18:54
#2
Đã gửi 19-06-2013 - 20:13
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
cho a,b,c >0 chứng minh rằng
$1< \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có $VT^2\leq \left [ \sum (a+c) \right ]\left [ \sum \frac{a}{(a+b)(a+c)} \right ]$
Do đó ta chỉ còn phải chứng minh $\left [ \sum (a+c) \right ]\left [ \sum \frac{a}{(a+b)(a+c)} \right ]\leq \frac{3}{4}$
Sau khi khai triển, ta được BĐT tương đương với $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$ (đúng)
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 19-06-2013 - 20:53
andymurray44
-
- Thành viên
-
- 153 Bài viết
Trung sĩ
$\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}= \sum \frac{a}{\sqrt{a(a+b)}}> \sum \frac{2a}{2a+b}> \sum \frac{2a}{2a+2b+2c}= 1$
#4
Đã gửi 19-06-2013 - 21:44
badboykmhd123456
-
- Thành viên
-
- 296 Bài viết
Thượng sĩ
$\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}= \sum \frac{a}{\sqrt{a(a+b)}}> \sum \frac{2a}{2a+b}> \sum \frac{2a}{2a+2b+2c}= 1$
Đoạn đó bạn giải thik rõ hơn đk k
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
