Chủ đề này có 2 trả lời

[trananh2771998]

tìm tất cả các hàm tăng thực sự $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn

 

$f\left ( mf\left ( n \right ) \right )= nf\left ( 2m \right )\forall m,n\in N^{*}$

[Idie9xx]

tìm tất cả các hàm tăng thực sự $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn

 

$f\left ( mf\left ( n \right ) \right )= nf\left ( 2m \right )\forall m,n\in N^{*}$

Do $f$ tăng thực sự nên $f$ đơn ánh.

Cho $P(m,n)$ có tính chất $f(mf(n))=nf(2m)$ với $m,n\in N^{*}$ và $f(2)=c$

$P(1,n)\Rightarrow f(f(n))=nf(2)=c \cdot n$

$P(1,1)\Rightarrow f(f(1))=f(2)\Rightarrow f(1)=2$

$P(1,2)\Rightarrow f(f(2))=2f(2)\Rightarrow f( c )=2c$

Ta có $f(f(n))=c\cdot n\Rightarrow f(f(f(n)))=f(c \cdot n)\Rightarrow c\cdot f(n)=2f(2n)$

$P(f(m),n)\Rightarrow f(f(m)f(n))=nf(2f(m))=nmf(4)$

$\Rightarrow f(f(f(m)f(n)))=f(mnf(4))$

$\Rightarrow c\cdot f(n)f(m)=4f(2mn)\Rightarrow f(m)f(n)=2f(mn)$

Đặt $f(n)=2g(n)$ ta có $g(mn)=g(m)g(n)$ và $g( c )=c$

Ta sẽ chứng minh $f(n)=2n$.

Theo qui nạp ta có $g(n^k)=(g(n))^k$ với $\forall k\in \mathbb{N^*}$ nên $g(c^k)=c^k$

Giả sử $g(n)\neq n$ do $c=f(2)>f(1)=2>1$ nên luôn tồn tại cặp số $t,u\in \mathbb{N^*}$

Sao cho $c^t>n^u$ mà $c^t=g(c^t)<g(n^u)$ hoặc $c^t<n^u$ mà $c^t=g(c^t)>g(n^u)$

Mâu thuẫn với $g$ tăng (do $f$ tăng)

Nên $g(n)=n$ hay $f(n)=2n$

$KL:\boxed{f(n)=2n},\forall n\in \mathbb{N^*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-06-2013 - 05:12

[trananh2771998]

Do $f$ tăng thực sự nên $f$ đơn ánh.

Cho $P(m,n)$ có tính chất $f(mf(n))=nf(2m)$ với $m,n\in N^{*}$ và $f(2)=c$

$P(1,n)\Rightarrow f(f(n))=c \cdot n$

$P(1,1)\Rightarrow f(f(1))=f(2)\Rightarrow f(1)=2$

$P(1,2)\Rightarrow f(f(2))=2f(2)\Rightarrow f(c)=2c$

Ta có $f(f(n))=nf(2)\Rightarrow f(f(f(n)))=f(c \cdot n)\Rightarrow c\cdot f(n)=2f(2n)$

$P(f(m),n)\Rightarrow f(f(m)f(n))=nf(2f(m))=nmf(4)\Rightarrow f(f(f(m)f(n)))=f(mnf(4))$

$\Rightarrow c\cdot f(n)f(m)=4f(2mn)\Rightarrow f(m)f(n)=2f(mn)$

Đặt $f(n)=2g(n)$ ta có $g(mn)=g(m)g(n)$ và $g(c)=c$

Ta sẽ chứng minh $f(n)=2n$.

Theo qui nạp ta có $g(n^k)=(g(n))^k$ với $\forall k\in \mathbb{N^*}$ nên $g(c^k)=c^k$

Giả sử $g(n)\neq n$ thì luôn tồn tại cặp số $t,u\in \mathbb{N^*}$

Sao cho $2^t>n^u$ mà $c^t=g(c^t)<g(n^u)$ hoặc $c^t<n^u$ mà $c^t=g(c^t)>g(n^u)$

Mâu thuẫn với $g$ tăng (do $f$ tăng)

Nên $g(n)=n$ hay $f(n)=2n$

$KL:\boxed{f(n)=2n},\forall n\in \mathbb{N^*}$

Sao thím nghĩ ra được cái $f(2)=c$ vậy