Chủ đề này có 1 trả lời

[axe900]

Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng $(0;2\pi )$ của phương trình:

$(\sqrt{3}-1)sinx+(\sqrt{3}+1)cosx=2\sqrt{2}sin2x$

[sieumau88]

Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng $(0;2\pi )$ của phương trình:
$(\sqrt{3}-1)sinx+(\sqrt{3}+1)cosx=2\sqrt{2}sin2x$

 

pt $\Leftrightarrow \left (\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \right ) \cdot \ sinx \ + \ \left (\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right ) \cdot \ cosx \ = \ sin2x$

$\Leftrightarrow cos\dfrac{5 \pi}{12} \cdot \ sinx \ + \ sin\dfrac{5 \pi}{12} \cdot \ cosx \ = \ sin2x$

$\Leftrightarrow sin\left (x + \dfrac{5 \pi}{12} \right ) = sin2x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = x + \dfrac{5 \pi}{12} + k2 \pi \\ 2x = \pi - x - \dfrac{5 \pi}{12} + k2 \pi \end{array} \right.$ $\left ( k \in \mathbb{Z} \right )$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi \left ( \dfrac{5}{12} + 2k \right ) \\ x = \pi \left ( \dfrac{7}{36} + \dfrac{2k}{3} \right ) \end{array} \right.$ $\left ( k \in \mathbb{Z} \right )$

Vi` điều kiện   $x \in \left ( 0, 2 \pi \right )$   ,  nên phương trình đã cho có nghiệm :

 

$x \in \left \{ \dfrac{5 \pi}{12} \ ; \ \dfrac{5 \pi}{36} \ ; \ \dfrac{31 \pi}{36} \ ; \ \dfrac{55 \pi}{36} \right \}$

Do đó ta có tổng của các nghiệm là

 

$S \ = \ \dfrac{5 \pi}{12} \ + \ \dfrac{5 \pi}{36} \ + \ \dfrac{31 \pi}{36} \ + \ \dfrac{55 \pi}{36} \ = \ \dfrac{53 \pi}{18} $