Chủ đề này có 3 trả lời

[vietnamesegauss89]

Hình lập phương $S$ với độ dài các cạnh là 2 gồm có 8 khối lập phương đơn vị. Ta gọi lập phương $S$ với 1 lập phương đơn vị được bỏ ra là 1 "mảnh". Hình lập phương $T$ với độ dài các cạnh là $2^n$ gồm có $(2^n)^3$ lập phương đơn vị.

 

CMR: nếu 1 lập phương đon vị được bỏ ra từ $T$, thì phần còn lại hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh".

[E. Galois]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng     cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng     sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 28/10 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng     sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

[chanhquocnghiem]

Hình lập phương $S$ với độ dài các cạnh là 2 gồm có 8 khối lập phương đơn vị. Ta gọi lập phương $S$ với 1 lập phương đơn vị được bỏ ra là 1 "mảnh". Hình lập phương $T$ với độ dài các cạnh là $2^n$ gồm có $(2^n)^3$ lập phương đơn vị.

 

CMR: nếu 1 lập phương đon vị được bỏ ra từ $T$, thì phần còn lại hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh".

Xét hình lập phương $OMNP.O{}'M{}'N{}'P{}'$ có độ dài các cạnh là $2^k$.Chọn $O$ là gốc tọa độ.Các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các tia $OM,OP,OO{}'$.Hình lập phương đó gồm $(2^k)^3$ hình lập phương đơn vị (viết tắt : hlpđv).Mỗi hlpđv ta ký hiệu là $(x/y/z)$ trong đó $(x;y;z)$ là tọa độ đỉnh xa $O$ nhất của nó ($x,y,z\in N^+$)

Mỗi hình lập phương có độ dài cạnh là $2^k$ ký hiệu là $T_{(k)}^{(a/b/c)}$ trong đó $(a;b;c)$ là tọa độ đỉnh xa $O$ nhất của nó.

$L_{(k;x/y/z)}^{(a/b/c)}$ là phần còn lại của $T_{(k)}^{(a/b/c)}$ sau khi bỏ đi hlpđv $(x/y/z)$.Như vậy mỗi ký hiệu xác định rõ ràng kích thước, hình dạng và tọa độ các đối tượng tương ứng.

Ta cần cm mệnh đề sau đúng với mọi $n\in N^+$ : Mọi khối $L_{(n;x/y/z)}^{(2^n/2^n/2^n)}$ (với $1\leqslant x,y,z\leqslant 2^n$) hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh" (ta gọi đây là mệnh đề 1).

Ta sẽ cm bằng phương pháp quy nạp.

 

$1)$ Dễ thấy khi $n=1$ thì mệnh đề 1 đúng vì khi đó mọi khối $L_{(1;x/y/z)}^{(2/2/2)}$ (với $x,y,z\in \left \{ 1;2 \right \}$) đều là 1 "mảnh"

 

$2)$ Giả sử mệnh đề 1 đúng khi $n=k$.Điều đó có nghĩa là mọi khối $L_{(k;x/y/z)}^{(a/b/c)}$ (với $1\leqslant x,y,z\leqslant 2^k$ và $a,b,c\in \left \{ 2^k;2^{k+1} \right \}$) đều có thể xây dựng từ các "mảnh"

Ta cần cm mọi khối $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ (với $1\leqslant x,y,z\leqslant 2^{k+1}$) đều có thể xây dựng từ các "mảnh"

Xét 2 trường hợp :

$a)$ $x,y,z$ đều thuộc $\left \{ 2^k;2^k+1 \right \}$ (tức là klpđv $(x/y/z)$ là 1 trong 8 klpđv nằm xung quanh tâm của $T_{(k+1)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$)

...Khi đó ta ghép 8 khối : $L_{(k;2^k/2^k/2^k)}^{(2^k/2^k/2^k)}$; $L_{(k;2^k+1/2^k/2^k)}^{(2^{k+1}/2^k/2^k)}$; $L_{(k;2^k/2^k+1/2^k)}^{(2^k/2^{k+1}/2^k)}$; $L_{(k;2^k+1/2^k+1/2^k)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^k)}$; $L_{(k;2^k/2^k/2^k+1)}^{(2^k/2^k/2^{k+1})}$; $L_{(k+1;2^k+1/2^k/2^k+1)}^{(2^{k+1}/2^k/2^{k+1})}$; $L_{(k+1;2^k/2^k+1/2^k+1)}^{(2^k/2^{k+1}/2^{k+1})}$; $L_{(k+1;2^k+1/2^k+1/2^k+1)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$

Chú ý rằng 8 khối trên đều có thể xây dựng từ các "mảnh" (vì mệnh đề 1 đúng khi n = k) và có thể ghép với nhau.Sau khi ghép xong, ta sẽ được $T_{(k+1)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ nhưng giữa 8 khối còn 1 khoảng trống, đó chính là $T_{(1)}^{(2^k+1/2^k+1/2^k+1)}$, và $(x/y/z)$ thuộc khoảng trống này.Thể tích khoảng trống là $(2^1)^3=8$ nên ta có thể cho vào đó 1 "mảnh" sao cho khoảng trống còn lại là hlpđv $(x/y/z)$.Như vậy $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ có thể xây dựng từ các "mảnh"

$b)$ Các khả năng còn lại : (tức là $(x/y/z)$ thuộc 1 trong 8 khối kể trên)

Khi đó nếu hlpđv $(x/y/z)$ thuộc khối nào (trong 8 khối kể trên) thì ta thay khối ấy bằng một khối $L$ có cùng chỉ số ở trên, chỉ khác chỉ số ở dưới sẽ là $(k;x/y/z)$ (khối $L$ này cũng được xây dựng từ các "mảnh").Khi đó khoảng trống giữa 8 khối có thể tích bằng $7$ và sẽ được lấp đầy bằng 1 "mảnh".Sau khi ghép 8 khối đó và lấp đầy khoảng trống ở giữa bằng 1 "mảnh", ta được khối $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$.Như vậy trong trường hợp này, khối $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ cũng được xây dựng từ các "mảnh"

 

---> mênh đề 1 cũng đúng khi $n=k+1$.

 

$3)$ Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề 1 đúng với mọi $n\in N^+$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-10-2013 - 07:47

[Karl Heinrich Marx]

Hình lập phương $S$ với độ dài các cạnh là 2 gồm có 8 khối lập phương đơn vị. Ta gọi lập phương $S$ với 1 lập phương đơn vị được bỏ ra là 1 "mảnh". Hình lập phương $T$ với độ dài các cạnh là $2^n$ gồm có $(2^n)^3$ lập phương đơn vị.

 

CMR: nếu 1 lập phương đon vị được bỏ ra từ $T$, thì phần còn lại hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh".

Bài toán này chú ý một tí thì quy nạp đơn giản hơn nhiều. một hình T cạnh $2^n$ sẽ có 8 hình T' cạnh $2^{n-1}$. Xét một hình S ở tâm của hình T, tức là 8 hình T' mỗi hình góp vào một đỉnh ở góc trong tâm tạo thành S. Nếu T bỏ đi 1 hình đơn vị thì nó rơi vào 1 trong 8 hình T', bây giờ từ hình S đã xét ta bỏ đi ô lập phương đơn vị mà thuộc về hình T' đã bị mất đó, khi đó nó trở thành 1 mảnh, sau khi lắp mảnh đó xong thì 8 hình T' còn lại mỗi hình đều mất 1 ô lập phương. Theo nguyên lí quy nạp là xong.