Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$2) f(-2)=f(-5)=n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nhiepphong

nhiepphong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Sở thích:tiền và tiền

Đã gửi 25-01-2005 - 15:26

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$

$2) f(-2)=f(-5)=n$
 


[COLOR=red][SIZE=7]hindo hindo hihihihihihihi!!!$$$$

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-01-2014 - 22:17

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 18/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-01-2014 - 11:47

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1919 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 18-01-2014 - 10:53

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

$1)$ Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$

$2) f(-2)=f(-5)=n$
 

Xét $n$ là số tự nhiên xác định bất kỳ ($n\in N$).Giả sử tồn tại đa thức

$f(x)=Ax^m+Bx^{m-1}+...+Xx^2+Yx+Z$ thoả mãn $f(-2)=f(-5)=n$ (với $A,B,...,X,Y,Z\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ và $m\in N$)

Ta cần tìm các giá trị thích hợp của $A,B,...,X,Y,Z$ và chứng minh các giá trị đó là duy nhất.

Đặt $n=10k_{1}+b$ ($k_{1}\geqslant 0$ ; $b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$) ($k_{1}$ và $b$ đều chỉ có giá trị duy nhất)

Ta có $f(-2)\equiv n(mod2)\Rightarrow Z\equiv 10k_{1}+b\equiv b(mod2)$ (1)

$f(-5)\equiv n(mod5)\Rightarrow Z\equiv 10k_{1}+b\equiv b(mod5)$ (2)

Mà $Z,b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow Z=b$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $k_{1}=0$

Khi đó đa thức $f(x)=Z$ là đa thức duy nhất thỏa mãn $2$ điều kiện đề bài (vì $Z=b$ ; $b$ chỉ có giá trị duy nhất và $b\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$)

$2)$ $k_{1}>0$

Đặt $g(x)=f(x)-n=Ax^m+Bx^{m-1}+...+Xx^2+Yx-10k_{1}$

$f(-2)=f(-5)=n\Rightarrow f(-2)-n=f(-5)-n=0\Rightarrow -2$ và $-5$ là $2$ nghiệm của $g(x)$

$\Rightarrow g(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ (4)

Đặt $g_{1}(x)=-k_{1}x^2-7k_{1}x-10k_{1}\Rightarrow g_{1}(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ (5)

(4),(5) $\Rightarrow Y-(-7k_{1})\vdots 10$ hay $Y=10k_{2}-7k_{1}$ ($k_{2}\in N$)

Vì $Y\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ nên $k_{2}$ chỉ có giá trị duy nhất (đó là giá trị sao cho $0\leqslant 10k_{2}-7k_{1}\leqslant 9$, suy ra $k_{2}\leqslant k_{1}< 2k_{2}$) và $Y$ cũng có giá trị duy nhất.

Nhân $k_{2}x$ với $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{1}(x)$ ta được 

$g_{2}(x)=k_{2}x^3+(7k_{2}-k_{1})x^2+(10k_{2}-7k_{1})x-10k_{1}=A_{2}x^3+B_{2}x^2+Yx-10k_{1}$

(trong đó $A_{2}=k_{2}$ và $5k_{2}<B_{2}=7k_{2}-k_{1}\leqslant 6k_{2}$)

Chọn $k_{3}\in N$ sao cho $0\leqslant X=B_{2}-10k_{3}\leqslant 9$ (suy ra $k_{3}$ và $X$ chỉ có giá trị duy nhất và $k_{3}< k_{2}$)

Nhân $-k_{3}x^2$ với $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{2}(x)$ ta được

$g_{3}(x)=-k_{3}x^4-(7k_{3}-k_{2})x^3+(B_{2}-10k_{3})x^2+Yx-10k_{1}=A_{3}x^4+B_{3}x^3+Xx^2+Yx-10k_{1}$

Lại chọn $k_{4}\in N$ sao cho $0\leqslant W=10k_{4}-7k_{3}\leqslant 9$ ($k_{4}$ và $W$ chỉ có giá trị duy nhất và $k_{4}\leqslant k_{3}< 2k_{4}$) 

Rồi nhân $k_{4}x^3$ cho $x^2+7x+10$ rồi cộng với $g_{3}(x)$ được

$g_{4}(x)=k_{4}x^5+(7k_{4}-k_{3})x^4+(10k_{4}-7k_{3})x^3+Xx^2+Yx-10k_{1}=A_{4}x^5+B_{4}x^4+Wx^3+Xx^2+Yx-10k_{1}$ 

(Cứ thế tiếp tục ...)

Nhận xét : $\forall i\in N,i\geqslant 2$, ta có :

$1)$ $\left | A_{i} \right |=k_{i}$ ; $\left | B_{i} \right |=\left | 7k_{i}-k_{i-1} \right |\leqslant 6k_{i}$

Mà $7k_{i}-k_{i-1}> 0$ nên $A_{i}$ và $B_{i}$ luôn cùng dấu $\Rightarrow \frac{B_{i}}{A_{i}}\leqslant 6$

$2)$ $k_{i}\leqslant k_{i-1}< 2k_{i}$ nếu $i$ chẵn ; $k_{i}< k_{i-1}$ nếu $i$ lẻ

Do đó khi $i$ tăng thì đến một lúc nào đó (khi $i=p$, $p$ chẵn), ta chắc chắn sẽ có $A_{p}=k_{p}=1$ và $5A_{p}< B_{p}\leqslant 6A_{p}$ (vì khi $p$ chẵn thì $k_{p}\leqslant k_{p-1}< 2k_{p}$) $\Rightarrow B_{p}=6$ ($A_{p}$ và $B_{p}$ đều chỉ có giá trị duy nhất)

Rõ ràng khi đó :

$g_{p}(x)=A_{p}x^{p+1}+B_{p}x^p+...+Xx^2+Yx-10k_{1}$ có tất cả các hệ số (trừ hệ số tự do cuối cùng) thuộc $\left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$

và $g_{p}(x)$ chia hết cho $x^2+7x+10$ $\Rightarrow g_{p}(-2)=g_{p}(-5)=0$

$\Rightarrow f_{p}(x)=g_{p}(x)+n=A_{p}x^{p+1}+B_{p}x^p+...+Xx^2+Yx+Z$ (trong đó $A_{p},B_{p},...,X,Y,Z$ được xác định như đã nói rõ ở trên, chỉ có giá trị duy nhất) chính là đa thức duy nhất thỏa mãn cả $2$ điều kiện trong đề bài.

(Đó cũng chính là đa thức $f(x)$ đã nói ở trên nếu ta đặt $A=A_{p}$, $B=B_{p}$ và $m=p+1$)

 

Vậy bài toán đã được chứng minh cho cả $2$ trường hợp $k_{1}=0$ và $k_{1}>0$, tức là đúng với mọi $n\in N$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-01-2014 - 18:17

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh