cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. a2b$(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. a2b$(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$
#1
Posted 21-06-2013 - 12:13
#2
Posted 29-06-2013 - 10:08
ta có
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)=(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})= abc(\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b})-(abc)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geqslant abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
(áp dụng bất đẳng thức xvác)
ta có $27abc\leqslant (a+b+c)^{3}$
nên $ abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant abc((a+b+c)-(\frac{(a+b+c)^{3}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}))= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}(3(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)^{3})= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
do $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 0$ (với a,b,c >0) nên
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant 0$
Edited by Oral1020, 29-06-2013 - 12:08.
#3
Posted 29-06-2013 - 16:03
Chỗ dùng BĐT C-S bạn bị ngược dấu rồita có
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)=(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})= abc(\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b})-(abc)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geqslant abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
(áp dụng bất đẳng thức xvác)
ta có $27abc\leqslant (a+b+c)^{3}$
nên $ abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant abc((a+b+c)-(\frac{(a+b+c)^{3}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}))= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}(3(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)^{3})= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
do $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 0$ (với a,b,c >0) nên
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant 0$
- hoctrocuanewton likes this
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#4
Posted 29-06-2013 - 17:39
xin lỗi mọi người phía trên tớ làm sai đó . tớ xin nêu thêm 1 cách nữa xem đúng hay sai nhé
do a$\geqslant b-c$ , b$\geqslant c-a$ ,c$\geqslant a-b$ nên ta có $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\geqslant 0$
vậy được đpcm và dấu = xảy ra khi a=b=c
- TruongQuangTan likes this
#5
Posted 29-06-2013 - 21:50
xin lỗi mọi người phía trên tớ làm sai đó . tớ xin nêu thêm 1 cách nữa xem đúng hay sai nhé
do a$\geqslant b-c$ , b$\geqslant c-a$ ,c$\geqslant a-b$ nên ta có $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\geqslant 0$
vậy được đpcm và dấu = xảy ra khi a=b=c
Vẫn sai . Trong 3 số $a-b$, $b-c$, $c-a$ phải có 1 số âm nên BĐT sẽ ngược chiều
Cách giải đúng:BĐT đã cho tương đương với $a^3b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$. Chia cả 2 vế cho $abc$ thì BĐT trở thành $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\Leftrightarrow (\frac{a^2}{c}+b)+\left ( \frac{b^2}{a}+c \right )+\left ( \frac{c^2}{b}+a \right )\geq (\frac{ab}{c}+c)+(\frac{bc}{a}+a)+(\frac{ca}{b}+b)\Leftrightarrow \frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ca}{a}+\frac{c^2+ab}{b}\geq \frac{a^2+bc}{a}+\frac{b^2+ca}{b}+\frac{c^2+ab}{c}$
Do $a^2+bc, b^2+ca, c^2+ab$ và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có ngay đpcm
- kobietlamtoan, bachhammer, hoctrocuanewton and 3 others like this
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#6
Posted 30-06-2013 - 08:26
Giả sử $a= max\left \{ a,b,c \right \}$
BĐT thức đã cho tương đương với: $a\left ( b-c \right )^{2}\left ( b+c-a \right )+b\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a+b-c \right )\geq 0$ (đúng)
Edited by holmes2013, 30-06-2013 - 08:28.
- hoctrocuanewton likes this
#7
Posted 30-06-2013 - 17:35
Vẫn sai . Trong 3 số $a-b$, $b-c$, $c-a$ phải có 1 số âm nên BĐT sẽ ngược chiều
Cách giải đúng:BĐT đã cho tương đương với $a^3b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$. Chia cả 2 vế cho $abc$ thì BĐT trở thành $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\Leftrightarrow (\frac{a^2}{c}+b)+\left ( \frac{b^2}{a}+c \right )+\left ( \frac{c^2}{b}+a \right )\geq (\frac{ab}{c}+c)+(\frac{bc}{a}+a)+(\frac{ca}{b}+b)\Leftrightarrow \frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ca}{a}+\frac{c^2+ab}{b}\geq \frac{a^2+bc}{a}+\frac{b^2+ca}{b}+\frac{c^2+ab}{c}$
Do $a^2+bc, b^2+ca, c^2+ab$ và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có ngay đpcm
cậu có thể ghi rõ cuối được không tớ không hiểu
#8
Posted 30-06-2013 - 17:41
cậu có thể ghi rõ cuối được không tớ không hiểu
Đại khái là 1 dãy sắp xếp (độ lớn) như thế nào thì các số hạng tương ứng ở dãy kia sẽ sắp xếp ngược lại. Chẳng hạn nếu$a^2+bc\geq b^2+ca\geq c^2+ab$ thì $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#9
Posted 30-06-2013 - 17:52
Đại khái là 1 dãy sắp xếp (độ lớn) như thế nào thì các số hạng tương ứng ở dãy kia sẽ sắp xếp ngược lại. Chẳng hạn nếu$a^2+bc\geq b^2+ca\geq c^2+ab$ thì $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$
vì sao hai dãy trên lại là 2 dãy đơn điệu ngược chiều ?
#10
Posted 30-06-2013 - 17:53
vì sao hai dãy trên lại là 2 dãy đơn điệu ngược chiều ?
Bạn thử tự chứng minh xem
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#11
Posted 30-06-2013 - 17:55
Bạn thử tự chứng minh xem
được rồi tớ sẽ tự chứng minh mà tớ hỏi nhé học mấy phần đó ở đâu vậy ?
#12
Posted 22-08-2015 - 08:59
được rồi tớ sẽ tự chứng minh mà tớ hỏi nhé học mấy phần đó ở đâu vậy ?
chứng minh kiểu gì?
#13
Posted 22-08-2015 - 21:57
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. \[a^2b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0\]
Vì $a^2b(a-b)=a^2b(a-b+c) - a^2bc,$ nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[a^2b(a-b+c)+b^2c(b-c+a)+c^2a(c-a+b) \geqslant abc(a+b+c),\]
hay
\[\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant a+b+c.\]
Vì $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác nên $a+b-c,\,b+c-a,\,c+a-b$ đều không âm. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
\[\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant \frac{[a(a-b+c)+b(b-c+a)+c(c-a+b)]^2}{ca(a-b+c)+ab(b-c+a)+bc(c-a+b)}.\]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
\[[a(a-b+c)+b(b-c+a)+c(c-a+b)]^2 \geqslant [ca(a-b+c)+ab(b-c+a)+bc(c-a+b)](a+b+c).\]
Khai triển và thu gọn ta sẽ được bất đẳng thức Schur bậc $4.$
Edited by Nguyenhuyen_AG, 22-08-2015 - 21:59.
Ho Chi Minh City University Of Transport
#14
Posted 02-10-2017 - 22:27
#15
Posted 17-12-2021 - 13:27
Xét tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ có đường tròn $(I)$ nội tiếp tiếp xúc với $a,b,c$ tại $D,E,F$
Lúc đó ta đặt $AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=z$
Ta cần chứng minh: $(y+z)^2(z+x)(y-x)+(z+x)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z)\geqslant 0$
$\Leftrightarrow 2xy^3+2yz^3+2zx^3\geqslant 2xyz(x+y+z)$
Bất đẳng thức cuối rất quen thuộc bằng cách chia hai vế cho $xyz$
- Hoang72 likes this
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users