cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. a2b$(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. a2b$(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$
#1
Đã gửi 21-06-2013 - 12:13
#2
Đã gửi 29-06-2013 - 10:08
ta có
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)=(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})= abc(\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b})-(abc)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geqslant abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
(áp dụng bất đẳng thức xvác)
ta có $27abc\leqslant (a+b+c)^{3}$
nên $ abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant abc((a+b+c)-(\frac{(a+b+c)^{3}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}))= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}(3(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)^{3})= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
do $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 0$ (với a,b,c >0) nên
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 29-06-2013 - 12:08
#3
Đã gửi 29-06-2013 - 16:03
Chỗ dùng BĐT C-S bạn bị ngược dấu rồita có
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)=(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})= abc(\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b})-(abc)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geqslant abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
(áp dụng bất đẳng thức xvác)
ta có $27abc\leqslant (a+b+c)^{3}$
nên $ abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant abc((a+b+c)-(\frac{(a+b+c)^{3}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}))= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}(3(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)^{3})= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
do $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 0$ (với a,b,c >0) nên
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant 0$
- hoctrocuanewton yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#4
Đã gửi 29-06-2013 - 17:39
xin lỗi mọi người phía trên tớ làm sai đó . tớ xin nêu thêm 1 cách nữa xem đúng hay sai nhé
do a$\geqslant b-c$ , b$\geqslant c-a$ ,c$\geqslant a-b$ nên ta có $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\geqslant 0$
vậy được đpcm và dấu = xảy ra khi a=b=c
- TruongQuangTan yêu thích
#5
Đã gửi 29-06-2013 - 21:50
xin lỗi mọi người phía trên tớ làm sai đó . tớ xin nêu thêm 1 cách nữa xem đúng hay sai nhé
do a$\geqslant b-c$ , b$\geqslant c-a$ ,c$\geqslant a-b$ nên ta có $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\geqslant 0$
vậy được đpcm và dấu = xảy ra khi a=b=c
Vẫn sai . Trong 3 số $a-b$, $b-c$, $c-a$ phải có 1 số âm nên BĐT sẽ ngược chiều
Cách giải đúng:BĐT đã cho tương đương với $a^3b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$. Chia cả 2 vế cho $abc$ thì BĐT trở thành $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\Leftrightarrow (\frac{a^2}{c}+b)+\left ( \frac{b^2}{a}+c \right )+\left ( \frac{c^2}{b}+a \right )\geq (\frac{ab}{c}+c)+(\frac{bc}{a}+a)+(\frac{ca}{b}+b)\Leftrightarrow \frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ca}{a}+\frac{c^2+ab}{b}\geq \frac{a^2+bc}{a}+\frac{b^2+ca}{b}+\frac{c^2+ab}{c}$
Do $a^2+bc, b^2+ca, c^2+ab$ và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có ngay đpcm
- kobietlamtoan, bachhammer, hoctrocuanewton và 3 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#6
Đã gửi 30-06-2013 - 08:26
Giả sử $a= max\left \{ a,b,c \right \}$
BĐT thức đã cho tương đương với: $a\left ( b-c \right )^{2}\left ( b+c-a \right )+b\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a+b-c \right )\geq 0$ (đúng)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi holmes2013: 30-06-2013 - 08:28
- hoctrocuanewton yêu thích
#7
Đã gửi 30-06-2013 - 17:35
Vẫn sai . Trong 3 số $a-b$, $b-c$, $c-a$ phải có 1 số âm nên BĐT sẽ ngược chiều
Cách giải đúng:BĐT đã cho tương đương với $a^3b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$. Chia cả 2 vế cho $abc$ thì BĐT trở thành $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\Leftrightarrow (\frac{a^2}{c}+b)+\left ( \frac{b^2}{a}+c \right )+\left ( \frac{c^2}{b}+a \right )\geq (\frac{ab}{c}+c)+(\frac{bc}{a}+a)+(\frac{ca}{b}+b)\Leftrightarrow \frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ca}{a}+\frac{c^2+ab}{b}\geq \frac{a^2+bc}{a}+\frac{b^2+ca}{b}+\frac{c^2+ab}{c}$
Do $a^2+bc, b^2+ca, c^2+ab$ và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có ngay đpcm
cậu có thể ghi rõ cuối được không tớ không hiểu
#8
Đã gửi 30-06-2013 - 17:41
cậu có thể ghi rõ cuối được không tớ không hiểu
Đại khái là 1 dãy sắp xếp (độ lớn) như thế nào thì các số hạng tương ứng ở dãy kia sẽ sắp xếp ngược lại. Chẳng hạn nếu$a^2+bc\geq b^2+ca\geq c^2+ab$ thì $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#9
Đã gửi 30-06-2013 - 17:52
Đại khái là 1 dãy sắp xếp (độ lớn) như thế nào thì các số hạng tương ứng ở dãy kia sẽ sắp xếp ngược lại. Chẳng hạn nếu$a^2+bc\geq b^2+ca\geq c^2+ab$ thì $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$
vì sao hai dãy trên lại là 2 dãy đơn điệu ngược chiều ?
#10
Đã gửi 30-06-2013 - 17:53
vì sao hai dãy trên lại là 2 dãy đơn điệu ngược chiều ?
Bạn thử tự chứng minh xem
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#11
Đã gửi 30-06-2013 - 17:55
Bạn thử tự chứng minh xem
được rồi tớ sẽ tự chứng minh mà tớ hỏi nhé học mấy phần đó ở đâu vậy ?
#12
Đã gửi 22-08-2015 - 08:59
được rồi tớ sẽ tự chứng minh mà tớ hỏi nhé học mấy phần đó ở đâu vậy ?
chứng minh kiểu gì?
#13
Đã gửi 22-08-2015 - 21:57
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. \[a^2b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0\]
Vì $a^2b(a-b)=a^2b(a-b+c) - a^2bc,$ nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[a^2b(a-b+c)+b^2c(b-c+a)+c^2a(c-a+b) \geqslant abc(a+b+c),\]
hay
\[\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant a+b+c.\]
Vì $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác nên $a+b-c,\,b+c-a,\,c+a-b$ đều không âm. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
\[\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant \frac{[a(a-b+c)+b(b-c+a)+c(c-a+b)]^2}{ca(a-b+c)+ab(b-c+a)+bc(c-a+b)}.\]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
\[[a(a-b+c)+b(b-c+a)+c(c-a+b)]^2 \geqslant [ca(a-b+c)+ab(b-c+a)+bc(c-a+b)](a+b+c).\]
Khai triển và thu gọn ta sẽ được bất đẳng thức Schur bậc $4.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-08-2015 - 21:59
Ho Chi Minh City University Of Transport
#14
Đã gửi 02-10-2017 - 22:27
#15
Đã gửi 17-12-2021 - 13:27
Xét tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ có đường tròn $(I)$ nội tiếp tiếp xúc với $a,b,c$ tại $D,E,F$
Lúc đó ta đặt $AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=z$
Ta cần chứng minh: $(y+z)^2(z+x)(y-x)+(z+x)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z)\geqslant 0$
$\Leftrightarrow 2xy^3+2yz^3+2zx^3\geqslant 2xyz(x+y+z)$
Bất đẳng thức cuối rất quen thuộc bằng cách chia hai vế cho $xyz$
- Hoang72 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh