Đến nội dung

Hình ảnh

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. a2b$(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
nhoclovebb

nhoclovebb

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. a2b$(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0$



#2
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

ta có 

$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)=(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})= abc(\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b})-(abc)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geqslant abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

(áp dụng bất đẳng thức xvác)

ta có  $27abc\leqslant (a+b+c)^{3}$

nên $ abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant abc((a+b+c)-(\frac{(a+b+c)^{3}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}))= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}(3(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)^{3})= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$

do  $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 0$ (với a,b,c >0) nên 

$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 29-06-2013 - 12:08


#3
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

ta có 
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)=(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})= abc(\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b})-(abc)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})\geqslant abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
(áp dụng bất đẳng thức xvác)
ta có  $27abc\leqslant (a+b+c)^{3}$
nên $ abc(a+b+c)-(abc)^{2}\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant abc((a+b+c)-(\frac{(a+b+c)^{3}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}))= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}(3(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(a+b+c)^{3})= \frac{abc}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}2(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)$
do  $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geqslant 0$ (với a,b,c >0) nên 
$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant 0$

Chỗ dùng BĐT C-S bạn bị ngược dấu rồi

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#4
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

xin lỗi mọi người phía trên tớ làm sai đó . tớ xin nêu thêm 1 cách nữa xem đúng hay sai nhé

do a$\geqslant b-c$ , b$\geqslant c-a$ ,c$\geqslant a-b$ nên ta có $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\geqslant 0$ 

vậy được đpcm và dấu = xảy ra khi a=b=c



#5
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

xin lỗi mọi người phía trên tớ làm sai đó . tớ xin nêu thêm 1 cách nữa xem đúng hay sai nhé

do a$\geqslant b-c$ , b$\geqslant c-a$ ,c$\geqslant a-b$ nên ta có $a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geqslant (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\geqslant 0$ 

vậy được đpcm và dấu = xảy ra khi a=b=c

Vẫn sai :(. Trong 3 số $a-b$, $b-c$, $c-a$ phải có 1 số âm nên BĐT sẽ ngược chiều  :closedeyes: 

Cách giải đúng:BĐT đã cho tương đương với $a^3b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$. Chia cả 2 vế cho $abc$ thì BĐT trở thành $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\Leftrightarrow (\frac{a^2}{c}+b)+\left ( \frac{b^2}{a}+c \right )+\left ( \frac{c^2}{b}+a \right )\geq (\frac{ab}{c}+c)+(\frac{bc}{a}+a)+(\frac{ca}{b}+b)\Leftrightarrow \frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ca}{a}+\frac{c^2+ab}{b}\geq \frac{a^2+bc}{a}+\frac{b^2+ca}{b}+\frac{c^2+ab}{c}$

Do $a^2+bc, b^2+ca, c^2+ab$ và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có ngay đpcm :)


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#6
holmes2013

holmes2013

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết

Giả sử $a= max\left \{ a,b,c \right \}$

BĐT thức đã cho tương đương với: $a\left ( b-c \right )^{2}\left ( b+c-a \right )+b\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a+b-c \right )\geq 0$ (đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi holmes2013: 30-06-2013 - 08:28


#7
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

Vẫn sai :(. Trong 3 số $a-b$, $b-c$, $c-a$ phải có 1 số âm nên BĐT sẽ ngược chiều  :closedeyes: 

Cách giải đúng:BĐT đã cho tương đương với $a^3b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$. Chia cả 2 vế cho $abc$ thì BĐT trở thành $\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\Leftrightarrow (\frac{a^2}{c}+b)+\left ( \frac{b^2}{a}+c \right )+\left ( \frac{c^2}{b}+a \right )\geq (\frac{ab}{c}+c)+(\frac{bc}{a}+a)+(\frac{ca}{b}+b)\Leftrightarrow \frac{a^2+bc}{c}+\frac{b^2+ca}{a}+\frac{c^2+ab}{b}\geq \frac{a^2+bc}{a}+\frac{b^2+ca}{b}+\frac{c^2+ab}{c}$

Do $a^2+bc, b^2+ca, c^2+ab$ và $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ là 2 dãy đơn điệu ngược chiều nên áp dụng BĐT hoán vị, ta có ngay đpcm :)

cậu có thể ghi rõ cuối  được không tớ không hiểu



#8
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

cậu có thể ghi rõ cuối  được không tớ không hiểu

Đại khái là 1 dãy sắp xếp (độ lớn) như thế nào thì các số hạng tương ứng ở dãy kia sẽ sắp xếp ngược lại. Chẳng hạn nếu$a^2+bc\geq b^2+ca\geq c^2+ab$ thì $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#9
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

Đại khái là 1 dãy sắp xếp (độ lớn) như thế nào thì các số hạng tương ứng ở dãy kia sẽ sắp xếp ngược lại. Chẳng hạn nếu$a^2+bc\geq b^2+ca\geq c^2+ab$ thì $\frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}\leq \frac{1}{c}$

vì sao hai dãy trên lại là 2 dãy đơn điệu ngược chiều ? 



#10
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

vì sao hai dãy trên lại là 2 dãy đơn điệu ngược chiều ? 

Bạn thử tự chứng minh xem :)


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#11
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

Bạn thử tự chứng minh xem :)

được rồi tớ sẽ tự chứng minh mà tớ hỏi nhé học mấy phần đó ở đâu vậy ? :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:



#12
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

được rồi tớ sẽ tự chứng minh mà tớ hỏi nhé học mấy phần đó ở đâu vậy ? :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:

chứng minh kiểu gì?



#13
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR. \[a^2b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a) \geq 0\]

 

Vì $a^2b(a-b)=a^2b(a-b+c) - a^2bc,$ nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[a^2b(a-b+c)+b^2c(b-c+a)+c^2a(c-a+b) \geqslant abc(a+b+c),\]

hay

\[\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant a+b+c.\]

Vì $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác nên $a+b-c,\,b+c-a,\,c+a-b$ đều không âm. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[\frac{a(a-b+c)}{c}+\frac{b(b-c+a)}{a}+\frac{c(c-a+b)}{b} \geqslant \frac{[a(a-b+c)+b(b-c+a)+c(c-a+b)]^2}{ca(a-b+c)+ab(b-c+a)+bc(c-a+b)}.\]

Vậy ta chỉ cần chứng minh

\[[a(a-b+c)+b(b-c+a)+c(c-a+b)]^2 \geqslant [ca(a-b+c)+ab(b-c+a)+bc(c-a+b)](a+b+c).\]

Khai triển và thu gọn ta sẽ được bất đẳng thức Schur bậc $4.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 22-08-2015 - 21:59

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#14
yukitsutoshi3110

yukitsutoshi3110

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
Cảm ơn nhiều!

#15
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Xét tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ có đường tròn $(I)$ nội tiếp tiếp xúc với $a,b,c$ tại $D,E,F$

Lúc đó ta đặt $AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=z$

Ta cần chứng minh: $(y+z)^2(z+x)(y-x)+(z+x)^2(x+y)(z-y)+(x+y)^2(y+z)(x-z)\geqslant 0$

$\Leftrightarrow 2xy^3+2yz^3+2zx^3\geqslant 2xyz(x+y+z)$

Bất đẳng thức cuối rất quen thuộc bằng cách chia hai vế cho $xyz$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh