Chủ đề này có 7 trả lời

[tieutuhamchoi98]

Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn:$xyz=1$

CMR:

$\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}\geq 3$

[Ha Manh Huu]

đổi biến $ (x;y;z)\rightarrow (\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$

 bđt cm tương đương với $\sum \frac{ab+3b^{2}}{(a+b)^{2}}\geq 3$

ta có $ \sum \frac{ab+3b^{2}}{(a+b)^{2}}= \sum \frac{b}{a+b}+\sum \frac{2b^{2}}{(a+b)^{2}}\geq \sum \frac{b}{a+b}+\sum \frac{2b^{2}}{2(a^{2}+b^{2})}= \sum \frac{b}{a+b}+\sum \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}$ 

 

bài này có vấn đề rồi các bạn nhé SR

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 25-06-2013 - 10:59

[banhgaongonngon]

$\sum \frac{b}{a+b}+\sum \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}$ (áp dụng bđt Nesbit)

 

Đoạn này là thế nào vậy em

Bất đẳng thức $Nesbitt$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$, $\forall a,b,c>0$

[Ha Manh Huu]

Đoạn này là thế nào vậy em

Bất đẳng thức $Nesbitt$

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$, $\forall a,b,c>0$

sr chắc em nhầm rồi @@~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 25-06-2013 - 10:54

[trananh2771998]

Mình nghĩ là hướng có thể như thế này nhưng chưa chắc đúng

Ta có $\left ( x+1 \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+1 \right )$

Từ đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

$\sum \frac{x+3}{x^{2}+1}\geq 6$

[hazard]

Mình nghĩ là hướng có thể như thế này nhưng chưa chắc đúng

Ta có $\left ( x+1 \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+1 \right )$

Từ đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

$\sum \frac{x+3}{x^{2}+1}\geq 6$

hướng này không được bạn à, nếu x=0.00005,y=180, z=$\frac{1000}{9}$ thì cái này không đúng đâu

 

Bài này cũng cũ rồi.

Ta có : $\frac{x+3}{(x+1)^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{x+3}{(x+1)^2}=\sum (\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2})$ (1)

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau:

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}$  với mọi a,b >0(2)

Dấu đẳng thức xảy ra ở (2) khi a=b=1

Áp dụng vào (1)

$\Rightarrow$ $\sum$ $\frac{x+3}{(x+1)^2}$ $\geq$ $\sum$ ($\frac{1}{x+1}+\frac{1}{yz+1}$)=3

(do $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{yz+1}=1$ khi xyz=1)

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ x=y=z=1

[dark templar]

Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn:$xyz=1$

CMR:

$\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}\geq 3$

Xem trong topic này,có khá nhiều cách giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-06-2013 - 13:32

[Nguyen Huy Tuyen]

Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn:$xyz=1$

CMR:

$\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}\geq 3$

Mình có cách này nhưng hơi trâu bò: Quy đồng lên rồi nhân tích chéo, rồi bù trừ đi cả 2 vế là ra bất đẳng thức cosi đơn giản !

$a+b+c+ab+bc+ac\geqslant 3abc+3$