Đến nội dung

Hình ảnh

$$ x+y+z\leq2+xyz$$

bất đẳng thức hay

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Cho $x,y,z $ không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$.Chứng minh rằng

$$ x+y+z\leq2+xyz$$

@:Mod:Chú ý tiêu đề nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 22-06-2013 - 15:41


#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$.Chứng minh rằng

$$ x+y+z\leq2+xyz$$

 

$(x+y+z(1-xy))^{2}\leq (x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy)(1+1-2xy+x^{2}y^{2})$

$\Leftrightarrow (x+y+z-xyz)^{2}\leq \sqrt{2(1+xy)(2-2xy+x^{2}y^{2})}$

Ta cần chứng minh $2(1+xy)(2-2xy+x^{2}y^{2})\leq 4$

$\Leftrightarrow (1+xy)(2-2xy+x^{2}y^{2})\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(xy-1)\leq 0$ (đúng do $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}\leq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}=1$

Dấu "=" xảy ra $\iff (x,y,z)=(1,1,0)$ và các hoán vị.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất, đẳng, thức, hay

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh