Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng
$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$
Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieu dao chich: 21-06-2013 - 22:36
Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng
$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$
Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieu dao chich: 21-06-2013 - 22:36
Cho $x,y,z$thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng
$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$
Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này.
đề bài có vấn đề vói x=1,y=1,z=-1thì ko thỏa mãn bạn à
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 21-06-2013 - 22:15
tàn lụi
đề bài có vấn đề vói x=1,y=z=0 thì ko thỏa mãn bạn à
sorry, x,y,z dương
sorry, x,y,z dương
hi hi mình cũng sai vói x=1 y=z=0 vẫn thỏa mãn
nhưng vói x=y=1 và z=-1 thì chắc ko
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 21-06-2013 - 22:15
tàn lụi
Cho $x,y,z \geq 0$thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng
$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$
Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này.
Đề phải bổ sung thực không âm nhé!
Không mất tính tổng quát giả sử x=min{x;y;z}. Ta có:
$1= x +y+z \geq 3x\Rightarrow 0\leq x\leq \frac{1}{3}; 1-2x\geq 0$
$xy +yz+xz -2xyz =x(y+z)+yz(x-2) \leq x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}(2x-1)$
Hay:
$xy +yz+xz -2xyz \leq \frac{1}{4}(-2x^3 +x^2+1)$
Xét hàm số :
$f(x)= -2x^3+x^2+1$ trên $\left [ 0;\frac{1}{3} \right ]=\varepsilon$
Ta có:
$f'(x)=-6x^2 +2x ;\forall x \in\varepsilon$
Mặt khác:
$f(0)=1;f(\frac{1}{3})=\frac{28}{27}$
Từ BBT suy ra:
$xy+yz+zx -2xyz \leq f(x)\leq \frac{1}{4}f\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{7}{27}$
Dấu $"= " \Leftrightarrow x=y=z= \frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 22-06-2013 - 08:11
Đặt $x+y+z=p; xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $p = 1$ và ta cần chứng minh: $q-2r\leqslant \frac{7}{27}$
Theo Schur, ta có: $r\geqslant \frac{p(4q-p^2)}{9} =\frac{4q-1}{9}$
Như vậy, ta cần chỉ ra rằng: $q-\frac{2(4q-1)}{9}\leqslant \frac{7}{27}\Leftrightarrow q\leqslant \frac{1}{3}$
Bất đẳng thức cuối đúng do: $q\leqslant \frac{p^2}{3}=\frac{1}{3}$
Vậy ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 12-04-2021 - 11:27
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab \leq 2016Bắt đầu bởi Beethoven II, 01-01-2019 bất, đẳng, thức |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi Nguyen Hoang Long 02, 15-02-2017 bất |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
bất đẳng thức hình họcBắt đầu bởi Trac Huynh, 25-12-2016 bất, đẳng, thức, hình, học |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$Bắt đầu bởi Phan Tien Ngoc, 12-10-2016 bất, đẳng thức |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Tìm Min và Max của P=2(ab+bc+ca)+abcBắt đầu bởi dangkhuong, 11-08-2015 bất |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh