Đến nội dung

Hình ảnh

$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số không âm  thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng 

$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$

Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này. :ukliam2:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieu dao chich: 21-06-2013 - 22:36


#2
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

Cho $x,y,z$thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng 

$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$

Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này. :ukliam2:

đề bài có vấn đề vói x=1,y=1,z=-1thì ko thỏa mãn bạn à


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 21-06-2013 - 22:15

tàn lụi


#3
sieu dao chich

sieu dao chich

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

đề bài có vấn đề vói x=1,y=z=0 thì ko thỏa mãn bạn à

sorry, x,y,z dương :wacko:



#4
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

sorry, x,y,z dương :wacko:

hi hi mình cũng sai vói x=1 y=z=0 vẫn thỏa mãn :D

nhưng vói x=y=1 và z=-1 thì chắc ko


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 21-06-2013 - 22:15

tàn lụi


#5
phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết


Cho $x,y,z \geq 0$thỏa mãn$x+y+z=1$,Chứng minh rằng 

$$xy+yz+zx-2xyz\leq\frac{7}{27}$$

Mong có nhiều cách giải khác nhau cho bài toán này. :ukliam2:

Đề phải bổ sung thực không âm nhé!

Không mất tính tổng quát giả sử x=min{x;y;z}. Ta có:

$1= x +y+z \geq 3x\Rightarrow 0\leq x\leq \frac{1}{3}; 1-2x\geq 0$

$xy +yz+xz -2xyz =x(y+z)+yz(x-2) \leq x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}(2x-1)$

Hay:

$xy +yz+xz -2xyz \leq \frac{1}{4}(-2x^3 +x^2+1)$

Xét hàm số :

$f(x)= -2x^3+x^2+1$ trên $\left [ 0;\frac{1}{3} \right ]=\varepsilon$

Ta có:

$f'(x)=-6x^2 +2x ;\forall x \in\varepsilon$

Mặt khác:

$f(0)=1;f(\frac{1}{3})=\frac{28}{27}$

Từ BBT suy ra:

$xy+yz+zx -2xyz \leq f(x)\leq \frac{1}{4}f\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{7}{27}$

Dấu $"= " \Leftrightarrow x=y=z= \frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 22-06-2013 - 08:11


#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Đặt $x+y+z=p; xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $p = 1$ và ta cần chứng minh: $q-2r\leqslant \frac{7}{27}$

Theo Schur, ta có: $r\geqslant \frac{p(4q-p^2)}{9} =\frac{4q-1}{9}$

Như vậy, ta cần chỉ ra rằng: $q-\frac{2(4q-1)}{9}\leqslant \frac{7}{27}\Leftrightarrow q\leqslant \frac{1}{3}$

Bất đẳng thức cuối đúng do: $q\leqslant \frac{p^2}{3}=\frac{1}{3}$ 

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 12-04-2021 - 11:27

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất, đẳng, thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh