Chủ đề này có 4 trả lời

[SPhuThuyS]

Cho $1\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 2$

Tìm $P_{max}=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

[Ha Manh Huu]

do $\ 1\leq x\leq y\leq z\leq2$ nên ta có $\frac{1}{2}\leq \frac{x}{z} <2$
nên $ (\frac{x}{z}-\frac{1}{2})(\frac{x}{z}-2)\leq 0\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{z^{2}}+1\leq \frac{5x}{2z}\Leftrightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq \frac{5}{2}$  $(1)$
ta lại có $ (\frac{y}{z}-1)(\frac{x}{y}-1)\geq 0\Rightarrow \frac{x}{z}+1\geq \frac{y}{z}+\frac{x}{y}$
tương tự ta có$\large (\frac{z}{y}-1)(\frac{y}{x}-1)\geq 0\Rightarrow \frac{z}{x}+1\geq \frac{z}{y}+\frac{y}{x}$
cộng vế suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\leq \frac{x}{z}+\frac{z}{x}+2\leq \frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}$ $(2)$
nhân cáu biết tức đó ra từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh

[bachhammer]

Cho $1\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 2$

Tìm $P_{max}=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Biểu thức trên tương đương với:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 7$. 

Theo giả thiết ta có:

$(x-y)(y-z)\geq 0\Leftrightarrow xy+yz\geq y^{2}+xz\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{z}+1\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\\\frac{z}{x}+1\geq \frac{z}{y}+\frac{y}{x} \end{matrix}\right.$

Vì thế nên $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq (\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 2+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$.

Đặt a=x/z thì $1\leq a\leq 2$ nên $(a-2)(a-1)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}+2\leq 3a\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}+\frac{1}{2}\leq a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\leq a+\frac{2}{a}\leq 3\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}\leq \frac{5}{2}$.

Từ đó ta có maxP=10, dấu bằng xảy ra khi x=y=2,z=1 và các hoán vị của chúng. Tuy nhiên từ giả thiết ta suy ra x=1; y=z=2. 

[Ha Manh Huu]

Biểu thức trên tương đương với:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 7$. 

Theo giả thiết ta có:

$(x-y)(y-z)\geq 0\Leftrightarrow xy+yz\geq y^{2}+xz\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{z}+1\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\\\frac{z}{x}+1\geq \frac{z}{y}+\frac{y}{x} \end{matrix}\right.$

Vì thế nên $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq (\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 2+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$.

Đặt a=x/z thì $1\leq a\leq 2$ nên $(a-2)(a-1)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}+2\leq 3a\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}+\frac{1}{2}\leq a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\leq a+\frac{2}{a}\leq 3\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}\leq \frac{5}{2}$.

Từ đó ta có maxP=10, dấu bằng xảy ra khi x=y=2,z=1 và các hoán vị của chúng. Tuy nhiên từ giả thiết ta suy ra x=1; y=z=2. 

x=y=1 và z=2 cũng đc bạn ạ bạn làm thiếu dấu = rồi

[SPhuThuyS]

Biểu thức trên tương đương với:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 7$. 

Theo giả thiết ta có:

$(x-y)(y-z)\geq 0\Leftrightarrow xy+yz\geq y^{2}+xz\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{z}+1\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\\\frac{z}{x}+1\geq \frac{z}{y}+\frac{y}{x} \end{matrix}\right.$

Vì thế nên $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq (\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\leq 2+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$.

Đặt a=x/z thì $1\leq a\leq 2$ nên $(a-2)(a-1)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}+2\leq 3a\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}+\frac{1}{2}\leq a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\leq a+\frac{2}{a}\leq 3\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}\leq \frac{5}{2}$.

Từ đó ta có maxP=10, dấu bằng xảy ra khi x=y=2,z=1 và các hoán vị của chúng. Tuy nhiên từ giả thiết ta suy ra x=1; y=z=2. 

x=y=1;z=2 cũng đúng