Chủ đề này có 1 trả lời

[sieu dao chich]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn$ab+bc+ca+6abc=9$,chứng minh rằng:

$$a+b+c+3abc\geq6$$

 

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn$ab+bc+ca+6abc=9$,chứng minh rằng:

$$a+b+c+3abc\geq6$$

Có thể thấy đây là 1 bất đẳng thức khá đẹp mắt 

Để tiện trình bày ta đặt $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c\\q=ab+bc+ac \\r=abc \end{matrix}\right.$

Từ giả thiết ta có $q+6r=9$, ta cần chứng minh $p+3r \geqslant 6$

Áp dụng AM-GM ta có $ab+bc+ac+6abc\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{6(a+b+c)^3}{27}$

Từ đó ta có $9\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{6(a+b+c)^3}{27}\Rightarrow p=a+b+c\geqslant 3$

TH1 : Nếu $p\geqslant 6\Rightarrow p+3r> 6$

Vậy ta có luôn đpcm

TH2 :Do đó ta chỉ cần xét trường hợp $3 \leqslant p< 6$

Ta có $q+6r=9\Rightarrow 6r=9-q$

Bât đẳng thức đã cho tương đương với $2p+6r\geqslant 12\Leftrightarrow 2p+9-q\geqslant 12\Leftrightarrow 2p-3\geqslant q$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có $r\geqslant \frac{4pq-p^3}{9}\Rightarrow 6r\geqslant \frac{8pq-2p^3}{3}$

                       $\Rightarrow 9=q+6r\geqslant q+\frac{8pq-2p^3}{3}=\frac{8pq-2p^3+3q}{3}$

                       $\Rightarrow \frac{2p^3+27}{8p+3}\geqslant q$   (2)

Từ (1) và (2) ta chỉ cần chứng minh $2p-3\geqslant \frac{2p^3+27}{8p+3}$

Nhân chéo, khai triển ta được $\Leftrightarrow (p+1)(p-3)(p-6)\leqslant 0$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do $3\leqslant p<6$

Vậy trong cả 2 trường hợp ta đều có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$