Chủ đề này có 1 trả lời

[sieu dao chich]

Cho $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn$ x^2+y^2+z^2=9$.CMR

$$2(x+y+z)-xyz\leq10$$

[banhgaongonngon]

Cho $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn$ x^2+y^2+z^2=9$.CMR

$$2(x+y+z)-xyz\leq10$$

 

Giả sử $z^{2}=\max (x^{2},y^{2},z^{2})$

Khi đó $3z^{2}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\Rightarrow z^{2}\geq 3$

Nên $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}}{2}= \frac{9-z^{2}}{2}\leq 3$

$\left [ 2(x+y)+z(2-xy) \right ]^{2}\leq \left [ (x+y)^{2}+z^{2} \right ]\left [ 2^{2}+(2-xy)^{2} \right ] $

$\Leftrightarrow \left ( 2(x+y+z)-xyz \right )^{2}\leq (9+2xy)(x^{2}y^{2}-4xy+8)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $(9+2xy)(x^{2}y^{2}-4xy+8)\leq 100$    $(*)$

Thật vậy $(*)\Leftrightarrow (xy+2)^{2}\left ( 2xy-7 \right )\leq 0$         (đúng do $xy\leq 3$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 29-06-2013 - 12:37