Định ki lên dd nữa nhưng tâm huýt với chuyên đề quá nên em sẽ trả lời câu hỏi của anh.Giả thiết đã cho $2b \geq\ a+c$ nên không được phép giả thiết thêm $a \geq\ b \geq\ c$Một ví dụ chebysev: (Bùi Việt Anh-www.diendantoanhoc.net)
$ \dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b} \geq 6(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})$ với $2b \geq a+c$
Lời giải:
Bất đẳng thức về dạng chebysev:
$(a-b)^2(\dfrac{c(a+b)-2ab}{ab})+(b-c)^2(\dfrac{a(b+c)-2bc}{bc}+(c-a)^2(\dfrac{b(c+a)-2ca}{ac}) \geq 0$(1)
Sắp thứ tự các biến: giả sử: $ a \geq b \geq c$
$x=(a-c)^2, y=(b-c)^2, z= (a-b)^2$
Dễ có: $C_1=\dfrac{a(b+c)-2bc}{bc}, C_2=\dfrac{b(a+c)-2ac}{ac}, C_3=\dfrac{c(a+b)-2ab}{ab}$
Vậy BĐT cần chứng minh có dạng:
$C_1y + C_2x + C_3z \geq 0$(2)
Ta sẽ chứng minh BĐT sau:
$C_1y + C_2x + C_3z \geq (x+y+z)(C_1+C_2+C_3)$(3)
Theo tiêu chuẩn 3 phần một, ta có BĐT trên đúng khi và chỉ khi:
$2y \geq x+z $
$ \leftrightarrow \dfrac{2b(a+c)-2ac}{ac}-\dfrac{2c(a+b)-2ab}{ab}-\dfrac{2a(b+c)-2bc}{bc}$
$ \leftrightarrow \dfrac{(2b-a-c)(ab+bc+ca)}{abc} \geq 0$
BĐT trên đúng theo đk đề bài.
Vậy (3) đúng.
Ta tiếp tục chứng minh rằng:
$(x+y+z)(C_1+C_2+C_3) \geq 0$
Thật vậy: $x+y+z \geq 0$(do $x,y,z \geq 0$ và:
$C_1+C_2+C_3=\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a+b^2a+c^2b+a^2c -6abc}{abc} \geq 0$(Theo BĐT AM-GM)
Từ trên ta có DPCM.
@: NGUỒN BÀI VIẾT LẤY TỪ ĐÂY
WWW.TOANTHPT.NET
Bài này quả thật là sơ sót của em. Anh BVA đưa đề ko chi tiết và em lại copy ra làm ví dụ ngay, rồi gõ lời giải nên mắc lỗi này.
Thật ra đề đúng phải là thế này ạ:
$ a \geq b \geq c$ và $ 2b \geq a+c$ nên nói chính xác nhất thì ta ko cần giả sử gì cả. Đề bài đã có hoàn toàn rồi.
Mọi người có thể tìm hiểu thêm trong topic "Thách thức SOS" của anh KL thì sẽ thấy rõ hơn đề bài toán này.
Rất cám ơn anh đã góp ý.
Em sẽ cố gắng hoàn chỉnh hẳn chuyên đề này và sửa chữa để ko làm phiền mọi người phải đọc những đề sai( sau đó tính gì thí tính)
- NuLii yêu thích