catbuilts

Cho x, y, z là các só thực dương, thỏa $x+y+z=3$

 

Chứng minh

 

$9+ \sum_{cyc}x^2y^3\geq 4\sum_{cyc}xy^2$

Cho x,y,z là các số thực thỏa : $x+y+z=0$

Tìm min của $A=\left |cosx \right | +\left |cosy \right |+ \left |cosz \right |$

đặt $e=cos\frac{2\pi}{7} +isin\frac{2\pi}{7}$ là căn bậc 7 của đơn vị.
Tính $\sum_{i=1}^{6}\coprod_{j=1}^{4} \left (\left (e^i \right )^j+1 \right )$
Mong được mọi người giúp đỡ. Thanks !

Sửa lại đề bài một chút cho rõ ràng hơn

Đặt: $\quad\varepsilon = \cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}=\sqrt[7] 1\;\in\mathbb C\qquad$ (Căn bậc 7 của đơn vị trong trường số phức)

Tính: $\quad\sum_{k=1}^6 \prod_{j=1}^4 \left((\varepsilon^k)^j+1\right)$

Chỉ ra ít nhất 2 nghiệm nguyên dương của phương trình sau $3x^{2}+x=2y^{2}+y$

Cho $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$

Chứng minh rằng
$\frac{a}{a+b} +\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$