Draconid

1. Họ và tên:Bùi Quang Huy
2. Nick trên Diễn đàn: Draconid
3. Ngày sinh: 4/11/1993
4. Nghề nghiệp: SV
5. Địa chỉ nhà:Bùi Thị Thiệu, Khu 2 thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường tỉnh Vĩnh Phúc
6. Mail/ Số điện thoại liên lạc:01686328770
7. Địa điểm đăng kí tham gia: Hà Nội
8. Bạn có muốn tham gia vào BTC không: Không

P/s:Secrets In Inequalities VP Em ở VP à, đi với anh

Câu 4: a) CM d là 1 metric trên X. Ta có

$d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$

$d\left ( x,y \right )=0$ <=> x=y

$d(x,y)=\left | \frac{2}{x} -\frac{2}{y}\right |=\left | \frac{2}{x}-\frac{2}{z}+\frac{2}{z}-\frac{2}{y} \right |\leq \left | \frac{2}{x}-\frac{2}{z} \right |+\left |\frac{2}{z} -\frac{2}{y} \right |=d\left ( x,z \right )+d\left ( z,y \right )$ vậy d là 1 metric trên X

b) Ta có $\lim_{m,n \to \infty }d\left ( x_{m},x_{n} \right )=\lim_{m,n \to \infty }\left | \frac{2}{x_{m}}-\frac{2}{x_{n}} \right |=0$ => dãy $\left \{ x_{n}=n\in N \right \}$ là 1 dãy cauchy trong không gian metric (X,d)

Giả sử $\left \{ x_{n} \right \}$ hội tụ khi đó $\lim_{n \to \infty }x_{n}=x$ và $\lim_{n \to \infty }d\left ( x_{n},x \right )=0$ => $\left | \frac{2}{x_{n}}-\frac{2}{x} \right |\rightarrow 0$ => $0=\lim_{n \to \infty }\frac{2}{x_{n}}=\frac{2}{x}$ Vô lý do $\frac{2}{x}\neq 0$ Vậy dãy $\left \{ x\left ( n \right ) \right \}$ không hội tụ nên (X,d) không là không gian đủ


Câu 5: A= $\left ( 0,1 \right )*(0,1)$ = $\left \{ \left ( x,y \right ):-1< x,y< 1 \right \}$
Ta lấy X $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ $\in A$ , B(X,r) $\in A$
Dễ thấy $r=min\left \{ 1-\left | x \right |,1-\left | y \right | \right \}$

GọiY $\left ( x_{2},y_{2} \right )$ $\in B$ kihi đó:

$d\left ( X,Y \right )$ = $\sqrt{\left ( x_{1} -x_{2}\right )^{2}+\left ( y_{1}-y_{2} \right )^{2}}< r$ =>

$\left | x_{1}-x_{2} \right |< r$ , $\left | y_{1}-y_{2} \right |< r$


$\left | x_{1} \right |-\left | x_{2} \right |< r$, $\left | y_{1} \right |-\left | y_{2} \right |< r$


$\left | x_{1} \right |< r+\left | x_{2} \right |$ $< 1$ , $\left | y_{2} \right |< r+\left | y_{1} \right |$ $< 1$ Vậy Y $\in A$ nên mọi điểm trong A đều là điểm trong suy ra A là tập mở.

giải: Câu 1: Định nghĩa

Câu 2: Đặt
$A_{0}$ = $\left \{ x:\left | f_{x} -g_{x}\right |> 0 \right \}=\left \{ x:f_{x}\neq g_{x} \right \}$

$A_{\delta }=\left \{ x:\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |\geq \delta \right \}$ $\delta > 0$
$A_{k}=\left \{ x:\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |\geq k \right \}$ k$k\in N^{*}$

$B_{n}=\left \{ x:\left |f_{n} \left ( x \right )-f\left ( x \right ) \right | \geq \frac{\delta }{2}\right \}$ $n\in N^{*}$

$C_{n}=\left \{ x:\left | f_{n} \left ( x \right )-g\left ( x \right )\right |\geq \frac{\delta }{2} \right \}$, $n\in N^{*}$

Ta có các tập hợp này đều đo đc do fn,f,g đo được trên A

Ta cần chứng minh $\mu \left ( A_{0} \right )=0$

Trước hết ta chứng minh $A_{0}=\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}$ (1)
Lấy $x\in A_{0}$, ta có $x\in A$ và $\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |> 0$

Theo tính chất trù mật của số thực sẽ tồn tại số tự nhiên $k_{0}$ sao cho $\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |> \frac{1}{k_{0}}> 0$ suy ra $x\in A_{k_{0}}$ nên $x\in \bigcup_{1}^{\infty }A_{k}$

Ngược lại, lấy $x\in \bigcup_{1}^{\infty }A_{k}$ thì tồn tại số tự nhiên $k_{0}$ sao cho $x\in A_{k_{0}}$. Suy ra $x\in A$ và $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |\geq \frac{1}{k_{0}}$ nên $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |> 0$ do đó $x\in A_{0}$


Vậy (1) được chứng minh khi đó ta có $\mu \left ( A_{0} \right )\leq \sum_{1}^{\infty }\mu \left ( A_{k} \right )$ (2)


Bây giờ ta chứng minh $A_{\delta }\subset B_{n}\bigcup C_{n}$ hay $\left ( A_{\delta } \right )^{c}\supset \left ( B_{n}\bigcup C_{n} \right )^{c}$ (3)

Thật vậy lấy $x\in \left ( B_{n} \right )^{c}\bigcup \left ( C_{n} \right )^{c}$ ta có $x\in A$ và $\left | f_{n} \left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\delta }{2} và \left | f_{n}\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |< \frac{\delta }{2}$


Suy ra $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |=\left | f\left ( x \right )-f_{n}\left ( x \right )+f_{n} \left ( x \right )-g\left ( x \right )\right |\leq \left | f_{n}\left ( x \right ) -f\left ( x \right )\right |+\left | f_{n}\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |< \frac{\delta }{2}+\frac{\delta }{2}=\delta$ Do đó $x\in \left ( A_{\delta } \right )^{c}$ Vậy (3) được chứng minh

Khi đó:

$\mu \left ( A_{\delta } \right )\leq \mu \left ( B_{n} \right )+\mu \left ( C_{n} \right )$ (4)

Mà $\lim_{n \to \infty }\mu \left ( B_{n} \right )=0$, $\lim_{n \to \infty }\mu \left (C_{n} \right )=0$

Vì$f_{n}\overset{hkn}{\rightarrow}f, f_{n}\overset{hkn}{\rightarrow}g$ trên A, nên lấy lim hai vế của (4) ta được $\mu \left ( A_{\delta } \right )=0$, $\forall \delta > 0$


Suy ra $\mu \left ( A_{k} \right )=0$ khi $\delta =\frac{1}{k}> 0$, $\forall k\in N^{*}$
từ (2) ta có $\mu \left ( A_{0} \right )=0$ (ĐPCM)

Theo đề $f_{m}\left ( x \right )\overset{hkn}{\rightarrow}f\left ( x \right )$
$g_{m}\left ( x \right )\overset{hkn}{\rightarrow}g_{x}$ khi đó tồn tại tập A, B $\subset$ X Sao cho

$f_{m}\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ với mọi x $\epsilon$ X\A

$g_{m}\left ( x \right )\rightarrow g\left ( x \right )$ với mọi x$\in$ X\B

Vậy với mọi x $\in$ X \ $A\cup B$ thì $\lim_{m \to \infty }f_{m}\left ( x \right )$ = $f\left ( x \right )$ = $\lim_{m \to \infty }g_{m}\left ( x \right )$ = $g\left ( x \right )$


$f\left ( x \right )= g\left ( x \right )$ hkn

Có : Đây là metric $d_{p}= \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{k}\left ( x_{i}-y_{i} \right )^{p}}$ với p trong trường hợp


này bằng $\infty$

Trong đây thành viên Hà Nội và Đà Nẵng chiếm đa số nên phần lớn là mong muốn offline tại những địa điểm này rồi, chỉ tiếc ongtroi ở Cà Mau xa xôi không tham gia cùng anh em được. Nhưng mà bắt đầu từ ngày 6/7-26/7 là ongtroi du lịch Hà Nội (và xung quanh) có anh em nào muốn gặp ongtroi thì lên tiếng! He he

lúc nào ra HN pm em hỳ

Có lẽ như thế này sẽ dễ hiểu hơn. Ta CM chiều thuận

Xét hệ vecto { x+y , y+z , z+x ) và bộ số { $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ } ta thiết lập được tổng P = $k_{1}.\left ( x+y \right )$ + $k_{2}.\left ( y+z \right )$ + $k_{3}.\left ( z+x \right )$ = $\left ( k_{1}+k_{3} \right ).x + \left ( k_{1}+k_{2} \right ).y + \left ( k_{2}+k_{3} \right ).z$


Do { x,y,z } ĐLTT nên P=0 <=> $k_{1}+k_{3}=k_{2}+k_{1}=k_{3}+k_{2}=0$ => $k_{1}=k_{2}=k_{3}=0$ => ĐPCM

Tính giới hạn :

$\lim_{n \to \infty} \frac{ \int_{0}^{1} \left( 2x^2-5x-1 \right )^n dx }{\int_{0}^{1} \left( x^2-4x-1 \right )^n dx }$

Đặt $F\left ( x \right )$ = $\int \left ( 2x^{2} -5x-1\right )^{n}dx$ là nguyên hàm của hàm số $f\left ( x \right )$ = $2x^{2}-5x-1$

$F_{1}\left ( x \right )$ = $\int \left ( x^{2}-4x-1 \right )^{n}dx$ là nguyên hàm của hàm số $f_{1}\left ( x \right )$ = $x^{2}-4x-1$

Khi đó $\left ( \int_{0}^{1}f\left ( x \right )dx \right )'$ = $\left ( F\left ( 1 \right )'-F\left ( 0 \right )' \right )$ = f(0) - f(1) = $\left ( -4 \right )^{n}- \left ( -1 \right )^{n}$

Tương tự với $\left ( \int_{0}^{1} f_{1}\left ( x \right )dx\right )'$ = $\left ( -4 \right )^{n}-\left ( -1 \right )^{n}$

Do giới hạn có dạng $\frac{\infty }{\infty }$ áp dụng quy tắc Lobitan ta có:


$\lim_{n \to \infty }\frac{\int_{0}^{1}\left ( 2x^{2}-5x-1 \right )^{n}dx}{\int_{0}^{1}\left ( x^{2} -4x-1\right )^{n}dx}$ = $\lim_{n \to \infty }\frac{\left ( -4 \right )^{n}-\left ( -1 \right )^{n}}{\left ( -4 \right )^{n}-\left ( -1 \right )^{n}}$ = 1

Từ giả thiết đề cho ta có ${y_{1}}'.y_{2}={y_{2}}'.y_{1}$ => $\frac{{y_{2}}'}{{y_{1}}'}=\frac{y_{2}}{y_{1}}$ **

Theo định lý Lagrange: Hàm $y_{1}$ , $y_{2}$ khả tích và liên tục trên (a,b) nên tồn tại $x_{o}$ thuộc (a,b) sao cho


${y_{1}}'(x_{o})=\frac{y_{1}(b)-y_{1}(a)}{b-a}$



${y_{2}}'(x_{o})=\frac{y_{2}(b)-y_{2}(a)}{b-a}$



Chia theo vế 2 đẳng thức trên ta được

$\frac{{y_{2}}'}{{y_{1}}'}=\frac{y_{2}(b)-y_{2}(a)}{y_{1}(b)-y_{1}a}$ *

từ (*) và (**) ta có

$\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{y_{2}(b)-y_{2}(a)}{y_{1}(b)-y_{1}(a)}$

=> $y_{1}.[y_{2}(b)-y_{2}(a)]+y_{2}.[y_{1}(b)-y_{1}(a)]=0$
Theo đề $y_{1},y_{2}$ độc lập tuyến tính nên=> $y_{1}(b)=y_{1}(a),y_{2}(b)=y_{2}(a)$ Vậy ${y_{2}(x_{o})}'={y_{1}(x_{o})}'=y_{1}(x_{o})=y_{2}(x_{o})=0$

$\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$

Đây là dạng tích phân suy rộng:
Ta có P = $\int_{0}^{\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$ = $\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{o}^{t}\frac{x^{3}} {e^{x}-1}dx$ (1)
Xét nguyên hàm i = $\int \frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx$ ( $\ast$ $\ast$ )
đặt x=-u => dx=-du và
i = $\int \frac{u^{3}}{e^{-u}-1}du$ = $-\int \frac{u^{3}.e^{u}}{e^{u}-1}du$
i = $-\int \frac{x^{3}.e^{x}}{e^{x}-1}dx$ ( $\ast$ )
Cộng theo vế ( $\ast$ ) và ( $\ast$$\ast$ ) ta được
i = $\int \frac{x^{3}}{2}dx$ = $\frac{x^{4}}{8}$

Áp dụng vào (1) ta có P = $\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{t^{4}}{8}$ = $\infty$

1.cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện A²⁰¹⁰ =O_nxn
chứng minh rằng r(A)=r(A+A²+A³+A⁴)
2.cho ma trận $$B=\begin{pmatrix}
-2 &1 &1 &3 \\
-8&9 &1 &7 \\
1& -3 & 1& 1
\end{pmatrix}$$
và C là ma trận vuông cấp 3 không suy biến.tim hạng của ma trận C³B

Bạn hãy gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề $ \to $ Xem. Học gõ $\LaTeX$ ở đây.

câu 1 có E-A^2010 khả nghịch => E-A^4 khả nghịch nên E+A+A^2+A^3 khả nghịch
MàX=(A+A^2 +A^3+A^4)=A.(E+A+A^2+A^3) =<A
A=<X => Đpcm

xet' dinh thuc d' co cac' tat ca? cac dong` thu j va i bang 1=> det(d')=0. Ta co' tong cac phan bu` dai so cua dong` j=d'=0=> đpcm ^^