Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


kainguyen

Đăng ký: 08-12-2011
Offline Đăng nhập: 27-01-2013 - 16:49
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: cho dãy số sau 1;3;6;10;15;...;$\frac{n(n+1)}{2...

25-08-2012 - 22:32

cho dãy số sau 1;3;6;10;15;...; $\frac{n(n+1)}{2}$ ;...
Cm : tổng hai số hạng liên tiếp của dãy luôn là số chính phương



Bài này đơn giản mà.

Ta có tổng 2 số hạng liên tiếp:

$A=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=(n+1)^2$

Do đó A là số chính phương.

Trong chủ đề: Tính tổng $u_{2011}^{2}+v_{2011}^...

25-08-2012 - 22:26

Cho hai dãy số dương $(u_n)$, $(v_n)$ xác đinh bởi công thức:
$\left\{\begin{matrix} u_1=v_1=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ u_{n+1}=\frac{u_n}{4v_{n+1}^{2}-1}, v_{n+1}=\frac{v_n}{4u_{n+1}^{2}-1},n=1,2,3,... \end{matrix}\right.$
a) Tính $u_{2011}^{2}+v_{2011}^{2}$.
b) Tính $\lim{u_{n}}$ và $v_{n}$



a) Ta sẽ chứng minh quy nạp: $u_n^2+v_n^2=1$ (1)

Với $n=1$ ta có (1) đúng.

Gs (1) đúng với $n=k$ thì $u_k^2+v_k^2=1$

Thay vào công thức xác định dãy, ta có:

$[u_{k+1}(4v_{k+1}^2-1)]^2+[v_{k+1}(4u_{k+1}^2-1)]^2=1$

$\Leftrightarrow (u_{k+1}^2+v_{k+1}^2-1)(16u_{k+1}^2v_{k+1}^2+1)=0$

Từ đây suy ra (1) đúng với $n=k+1$

Vậy (1) đúng, suy ra đpcm.

b) Đề câu này bạn có chép lỗi công thức xđ dãy ko vậy?

Mình thử số công thức xđ dãy thấy đây là dãy hằng @@

Trong chủ đề: $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^...

26-07-2012 - 17:07

Bài toán:Cho $a,b,c\geq 0$.Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{9abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$



Dễ thấy có nhiều nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ bằng 0. Khi đó bđt hiển nhiên đúng.

Giả sử 3 số $a,b,c$ khác 0.

Khi đó, theo Cauchy - Schwarz và bđt $3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2$ ta có:

$\frac{9abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\leq \frac{9abc}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}}\leq \frac{9\sqrt{3}abc}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.(ab+bc+ca)}$


Ta cần cm: $\dfrac{(a+b+c)^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ge \dfrac{9\sqrt{3}abc}{ab+bc+ca}$

Ta chuẩn hóa $a+b+c=3$ và đặt: $\left\{\begin{array}{1}a+b+c=p=3\\ab+bc+ca=q\\abc=r \end{array}\right.$

Khi đó bđt (1) trở thành: $q^2\geq 3r^2(q^2-2q)$ đúng do: $\left\{\begin{matrix}
q\leq \frac{p^2}{3}=3\\
r\leq \frac{p^3}{27}=1
\end{matrix}\right.$

Vậy bđt được cm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=1$.

Trong chủ đề: $3cos4x-8cos^{6}x+2cos^{2}x+3=0$

22-07-2012 - 09:48

Ta có:

$3cos4x-8cos^6x+2cos^2x+3=0$

$\Leftrightarrow 3(2cos^22x-1)-8.(\frac{1+cos2x}{2})^3+2.\frac{1+cos2x}{2}+3=0$

$\Leftrightarrow -cos^32x+3cos^22x-2cos2x=0$

Đến đây đơn giản rồi :)

Trong chủ đề: Giải Phương trình Lượng giác: $\frac{sin^4x+cos^4x}...

22-07-2012 - 09:43

Ta có:

$\frac{sin^4x+cos^4x}{5sin2x}=\frac{1}{2}cot2x-\frac{1}{8sin2x}$

$\Leftrightarrow \frac{1-\frac{1}{2}sin^22x}{5sin2x}=\frac{4cos2x-1}{8sin2x}$

$\Leftrightarrow 8-4(1-cos^22x)=20cos2x-5$

$\Leftrightarrow 4cos^22x-20cos2x+9=0$