Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


peacemaker

Đăng ký: 09-12-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Đề thi Olympic sinh viên năm 2013 trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội

10-03-2013 - 20:09

Lời giải môn Đại số:

Bài 2:
Ta có $det\left [ \begin{pmatrix} I_{n} & A \\ 0 & I_{n} \end{pmatrix} - \lambda I_{2n}\right ]=(1-\lambda)^{2n}$
Suy ra 1 là giá trị riêng của ma trận $\bigl(\begin{smallmatrix} I_{n} & A \\ 0 & I_{n} \end{smallmatrix}\bigr)$
Để ma trận trên chéo hóa được thì $0=rank( \bigl(\begin{smallmatrix} I_{n} & A \\ 0 & I_{n} \end{smallmatrix}\bigr) - 1.I_{2n})=rank\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & A \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)=rank(A)$
Đến đây kết luận rằng A=0 là ma trận duy nhất thỏa mãn đề bài.

Bài 5:
a/ Từ điều kiện đề bài suy ra A là nghiệm của phương trình $x^5-1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0$
Vì bậc cao nhất của đa thức tối tiểu của ma trận $A\in M_{3}(\mathbb{Q})$ là 3, và phương trình $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ không có nghiệm thực trên $\mathbb{Q}$ nên A không là nghiệm của đa thức $x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Từ đó suy ra A là nghiệm của phương trình $x-1=0\Leftrightarrow A=I$
b/ Kết luận sẽ không còn đúng nữa vì bậc cao nhất của đa thức tối tiểu của ma trận $A\in M_{4}(\mathbb{Q})$ là 4 nên tồn tại ma trận A sao cho đa thức đặc trưng (hay tối tiểu) của nó là $x^4+x^3+x^2+x+1$

Bài 3: (bài này chứng minh đầy đủ rất dài, mình xin tóm tắt các ý chính)
Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh $D_{n}=\frac{\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(1-x_{i}y_{j})}$

_ Tính $D_{2}=\begin{vmatrix} \frac{1}{1-x_{1}y_{1}} & \frac{1}{1-x_{1}y_{2}} \\ \frac{1}{1-x_{2}y_{1}} & \frac{1}{1-x_{2}y_{2}} \end{vmatrix}=\frac{(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}{(1-x_{1}y_{1})(1-x_{1}y_{2})(1-x_{2}y_{1})(1-x_{2}y_{2})}$

_ Giả sử $D_{k-1}=\frac{\prod_{1\leq i< j\leq (k-1)}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\prod_{1\leq i,j\leq (k-1)}(1-x_{i}y_{j})}$, ta chứng minh:
$D_{k}=\frac{\prod_{1\leq i\leq (k-1)}(x_{i}-x_{n})(y_{i}-y_{n})}{(1-x_{n}y_{n})\prod_{1\leq i\leq (k-1)}(1-x_{n}y_{i})(1-x_{i}y_{n})}D_{k-1}$ (đoạn này mình dùng biến đổi sơ cấp + Laplace nên khá dài)

Bài 6: hình như diễn đàn có post vài lần rồi nhưng không nhớ cách CM :(

Trong chủ đề: Đăng kí tham gia Trường hè “Toán học cho sinh viên” Hà Nội, 8-28/7/2012

10-05-2012 - 16:02

Sắp xong năm nhất rồi mà mình mới học ĐSTT 1 và Giải tích 1 thôi, còn non kinh nghiệm lắm :(.
Không biết có nên tham gia không nhỉ :mellow:

Trong chủ đề: $\begin{vmatrix}1&1 &1 &... &1 \\ -1...

21-04-2012 - 21:58

Vừa học định thức xong, giải thử phát :lol:
Đặt ma trận vừa rồi là $D_{n}$ cỡ $n\times n$, ta có:
$D_{n}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 & ...& 1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & ... & 0 &0 \\ 0 & -1 & 2 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 2 \end{vmatrix}$
Khai triển Laplace cho hàng cuối cùng ta có:
$D_{n}=2D_{n-1}+K_{n-1}$
Với $K_{n-1}=(-1)^{n+n-1}.(-1)\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 & ...& 1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & ... & 0 &0 \\ 0 & -1 & 2 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 0 \end{vmatrix}$
_ Để ý rằng $K_{n-1}$ theo khai triển Laplace cho hàng cuối cùng ta suy ra $K_{n-1}=K_{n-2}=...=K_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{2+3}.(-1)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ -1 & 0 \end{vmatrix}=1$
_ $D_{1}=1$; $D_{2}=3$

Đến đây suy ra $D_{n}$ là dãy số thoả mãn:
$\left\{\begin{matrix} D_{1}=1\\D_{n}=2D_{n-1}+1 \end{matrix}\right.$
Nói chung là $D_n=2^n-1\forall n\geq 1$

P/s: _ Đây giống dàn ý hơn là bài giải :lol: bạn tự trình bày và kiểm tra nhé (mình mới kiểm tới $D_{3}=7$ thôi)
_ xusinst nói phải, chỉ ma trận vuông mới có định thức thôi...

Trong chủ đề: $$\left\{\begin{array}{1}x^3 + y^3 + x^2(y + z)...

08-04-2012 - 22:45

Cộng cả 3 pt ta có:
$2(x^3+y^3+z^3)+x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=3xyz$
$\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3-3xyz)+[x^3+x^2(y+z)]+[y^3+y^2(z+x)]+[z^3+z^2(x+y)]=0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+x^2(x+y+z)+y^2(x+y+z)+z^2(x+y+z)=0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-xy-yz-zx)=0$
$\Rightarrow x+y+z=0$ (do $\Rightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-xy-yz-zx> 0 \forall x,y,z$)

Tới đây rút gọn hệ được về dạng sau:
$\left\{\begin{matrix} y^3=xyz+14\\ z^3=xyz-21\\ x^3=xyz+7 \end{matrix}\right.$ (2)

Nhân cả 3 pt của (2) ta có:
$(xyz)^3=(xyz+14)(xyz-21)(xyz+7)$
$\Leftrightarrow (xyz)^3=(xyz)^3+(14-21+7)(xyz)^2+(14.7-14.21-7.21)xyz-7.14.21$$\Leftrightarrow 7^3xyz=-7^3.6$$\Leftrightarrow xyz=-6$

Thay vào (2) ta nhận được hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} y^3=-6+14\\ z^3=-6-21\\ x^3=-6+7 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^3=8\\ z^3=-27\\ x^3=1 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2\\ z=-3\\ x=1 \end{matrix}\right.$
Đây là nghiệm duy nhất của pt...

Trong chủ đề: Topic các bài toán chưa có lời giải đáp trên VMF

27-03-2012 - 19:37

Bài 17:
Đề bài $\Leftrightarrow x^4-x+1+\frac{1}{x^4-x+1}+(x^2-2x+1)-2=0$
$\Leftrightarrow x^4-x+1+\frac{1}{x^4-x+1}=2-(x-1)^2$
Vế phải hiển nhiên $\leq 2$, dấu bằng xảy ra khi $x=1$
Xét $f(x)=x^4-x+1$ dễ dàng suy ra $f(x)> 0$ với mọi x
Áp dụng bđt Cauchy cho vế trái suy ra vế trái $\geq 2$, dấu bằng xảy ra khi $x=1$
Tới đây suy ra $x=1$ là nghiệm duy nhất của pt

Bài 5:
Đề bài $\Leftrightarrow(\frac{5}{3})^x=\frac{2}{5}$$\Leftrightarrow x=log_{\frac{5}{3}}\frac{2}{5}$

Bài 19:
TXĐ: $2x+1\leq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{-1}{2}$
Đề bài $\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1})=(\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1})(\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1})$
$\Leftrightarrow(\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1}-x-2)(\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1})=0$
Do $\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1}=\sqrt{2(x+1)^2+4}+\sqrt{-2x-1}>0$ với mọi x nên $\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1}-x-2=0$
$\Leftrightarrow 2x^2+4x+6=(x+2+\sqrt{-2x-1})^2$
$\Leftrightarrow x^2+2x+3=2(x+2)\sqrt{-2x-1}=\frac{1}{2}(x+2+\sqrt{-2x-1})^2$ (thay vào pt trên)
$\Leftrightarrow 4(x+2)\sqrt{-2x-1}=(x+2+\sqrt{-2x-1})^2$
$\Leftrightarrow ((x+2)-\sqrt{-2x-1})^2=0$$\Leftrightarrow x+2=\sqrt{-2x-1}$$\Leftrightarrow (x+2)^2=-2x-1$
$\Leftrightarrow x^2+6x+5=0$ suy ra $x=-1$ và $x=-5$


Các câu còn lại bao giờ nghĩ tiếp...
P/s: câu 7 vs 11 bị trùng nhé