Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


peacemaker

Đăng ký: 09-12-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

#403731 Đề thi Olympic sinh viên năm 2013 trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội

Gửi bởi peacemaker trong 10-03-2013 - 18:27

Môn thi: Đại số

Thời gian: 150'



Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính $f:M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$
a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho $f(A)=Tr(AC)$.
b/ Nếu thêm giả thiết $f(AB)=f(BA)$ với mọi $A,B$ thì tồn tại $\alpha \in \mathbb{R}$ sao cho $f(A)=\alpha Tr(A)$.

Bài 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận


$$\begin{pmatrix} I_{n} &A \\ 0 & I_{n} \end{pmatrix}$$

là một ma trận chéo hóa được. Ở đó $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n.

Bài 3: Cho $x_{i},y_{i},1\leq i\leq n$ là các số phức với $x_{i}y_{j} \neq 1$ với mọi cặp $x_{i},y_{j}$. Tính định thức $D_{n}$ của ma trận $M=(m_{i,j})_{n\times n}$, ở đó:

$$m_{i,j}=\frac{1}{1-x_{i}y_{j}}$$


Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận unita cỡ $n\times n$ với hệ số phức. Chứng minh rằng $\left | det(A+B) \right |\leq 2^{n}$

Bài 5:
a/ Cho $A\in M_{3}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Chứng minh rằng $A=I$
b/ Cho $A\in M_{4}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Kết luận $A=I$ có còn đúng không? Tại sao?

Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn:


$$P(x)P(x+1)=P(x^2),\forall x\in\mathbb{R}$$



Định nghĩa và ký hiệu:
(1) Tr(B) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B
(2) $M_{n}(\mathbb{Q})=\left \{ (a_{i,j})_{n\times n}|a_{i,j}\in\mathbb{Q} \right \}$
(3) Giả sử $A=(a_{i,j})_{n\times n}$. Ma trận phụ hợp phức $A^*=(a_{i,j}^{*})_{n\times n}$ của A được định nghĩa như sau: $a_{i,j}^{*}=\bar{a_{j,i}}$.
Ma trận A được gọi là unita nếu $AA^*=A^*A=I$




Môn thi: Giải tích

Thời gian:120'



Bài 1: Tính giới hạn sau:


$$\lim_{x\to 0^+}\int_{x}^{2x}\frac{sin(2t)}{t^n}dt$$


Bài 2: Cho $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi (x)$ sao cho:

$$\varphi' (x)=g(\varphi (x)),\forall x\in \mathbb{R}$$


Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to +\infty} \varphi (x)=b$ thì $g(b)=0$

Bài 3: Cho hai dãy số thực$\left \{ x_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ và $\left \{ y_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. $x_{n+1}\geq x_{n},\forall n=0,1,2,...; x_{0}=0;\lim_{n \to \infty}x_{n}=+\infty$.
2. $\lim_{n \to \infty}y_{n}=1$.
Chứng minh rằng:

$$\lim_{N\to +\infty}\frac{\sum_{n=1}^{N}(x_{n}-x_{n-1})y_{n}}{x_{N}}=1$$


Bài 4: Cho hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$.
2. $f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$.
Chứng minh rằng:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$$

Bài 5: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với các hệ số $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ và $a \neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên $(x,y),x\neq y$ sao cho $xP(x)=yP(y)$. Chứng minh rằng phương trình $P(x)=0$ có nghiệm nguyên.


#311892 $\begin{vmatrix}1&1 &1 &... &1 \\ -1&...

Gửi bởi peacemaker trong 21-04-2012 - 21:58

Vừa học định thức xong, giải thử phát :lol:
Đặt ma trận vừa rồi là $D_{n}$ cỡ $n\times n$, ta có:
$D_{n}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 & ...& 1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & ... & 0 &0 \\ 0 & -1 & 2 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 2 \end{vmatrix}$
Khai triển Laplace cho hàng cuối cùng ta có:
$D_{n}=2D_{n-1}+K_{n-1}$
Với $K_{n-1}=(-1)^{n+n-1}.(-1)\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 & ...& 1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & ... & 0 &0 \\ 0 & -1 & 2 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & ... & -1 & 0 \end{vmatrix}$
_ Để ý rằng $K_{n-1}$ theo khai triển Laplace cho hàng cuối cùng ta suy ra $K_{n-1}=K_{n-2}=...=K_{3}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{2+3}.(-1)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ -1 & 0 \end{vmatrix}=1$
_ $D_{1}=1$; $D_{2}=3$

Đến đây suy ra $D_{n}$ là dãy số thoả mãn:
$\left\{\begin{matrix} D_{1}=1\\D_{n}=2D_{n-1}+1 \end{matrix}\right.$
Nói chung là $D_n=2^n-1\forall n\geq 1$

P/s: _ Đây giống dàn ý hơn là bài giải :lol: bạn tự trình bày và kiểm tra nhé (mình mới kiểm tới $D_{3}=7$ thôi)
_ xusinst nói phải, chỉ ma trận vuông mới có định thức thôi...


#309106 $$\left\{\begin{array}{1}x^3 + y^3 + x^2(y + z) = xy...

Gửi bởi peacemaker trong 08-04-2012 - 22:45

Cộng cả 3 pt ta có:
$2(x^3+y^3+z^3)+x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=3xyz$
$\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3-3xyz)+[x^3+x^2(y+z)]+[y^3+y^2(z+x)]+[z^3+z^2(x+y)]=0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+x^2(x+y+z)+y^2(x+y+z)+z^2(x+y+z)=0$
$\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-xy-yz-zx)=0$
$\Rightarrow x+y+z=0$ (do $\Rightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-xy-yz-zx> 0 \forall x,y,z$)

Tới đây rút gọn hệ được về dạng sau:
$\left\{\begin{matrix} y^3=xyz+14\\ z^3=xyz-21\\ x^3=xyz+7 \end{matrix}\right.$ (2)

Nhân cả 3 pt của (2) ta có:
$(xyz)^3=(xyz+14)(xyz-21)(xyz+7)$
$\Leftrightarrow (xyz)^3=(xyz)^3+(14-21+7)(xyz)^2+(14.7-14.21-7.21)xyz-7.14.21$$\Leftrightarrow 7^3xyz=-7^3.6$$\Leftrightarrow xyz=-6$

Thay vào (2) ta nhận được hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} y^3=-6+14\\ z^3=-6-21\\ x^3=-6+7 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^3=8\\ z^3=-27\\ x^3=1 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2\\ z=-3\\ x=1 \end{matrix}\right.$
Đây là nghiệm duy nhất của pt...
  • MIM yêu thích


#306592 Topic các bài toán chưa có lời giải đáp trên VMF

Gửi bởi peacemaker trong 27-03-2012 - 19:37

Bài 17:
Đề bài $\Leftrightarrow x^4-x+1+\frac{1}{x^4-x+1}+(x^2-2x+1)-2=0$
$\Leftrightarrow x^4-x+1+\frac{1}{x^4-x+1}=2-(x-1)^2$
Vế phải hiển nhiên $\leq 2$, dấu bằng xảy ra khi $x=1$
Xét $f(x)=x^4-x+1$ dễ dàng suy ra $f(x)> 0$ với mọi x
Áp dụng bđt Cauchy cho vế trái suy ra vế trái $\geq 2$, dấu bằng xảy ra khi $x=1$
Tới đây suy ra $x=1$ là nghiệm duy nhất của pt

Bài 5:
Đề bài $\Leftrightarrow(\frac{5}{3})^x=\frac{2}{5}$$\Leftrightarrow x=log_{\frac{5}{3}}\frac{2}{5}$

Bài 19:
TXĐ: $2x+1\leq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{-1}{2}$
Đề bài $\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1})=(\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1})(\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1})$
$\Leftrightarrow(\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1}-x-2)(\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1})=0$
Do $\sqrt{2x^2+4x+6}+\sqrt{-2x-1}=\sqrt{2(x+1)^2+4}+\sqrt{-2x-1}>0$ với mọi x nên $\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1}-x-2=0$
$\Leftrightarrow 2x^2+4x+6=(x+2+\sqrt{-2x-1})^2$
$\Leftrightarrow x^2+2x+3=2(x+2)\sqrt{-2x-1}=\frac{1}{2}(x+2+\sqrt{-2x-1})^2$ (thay vào pt trên)
$\Leftrightarrow 4(x+2)\sqrt{-2x-1}=(x+2+\sqrt{-2x-1})^2$
$\Leftrightarrow ((x+2)-\sqrt{-2x-1})^2=0$$\Leftrightarrow x+2=\sqrt{-2x-1}$$\Leftrightarrow (x+2)^2=-2x-1$
$\Leftrightarrow x^2+6x+5=0$ suy ra $x=-1$ và $x=-5$


Các câu còn lại bao giờ nghĩ tiếp...
P/s: câu 7 vs 11 bị trùng nhé


#302189 Đề thi chọn đội tuyển Olympic SV 2012 môn Giải tích - ĐHKHTN, ĐHQGHN

Gửi bởi peacemaker trong 04-03-2012 - 17:47

Đề thi chọn đội tuyển thi Olympic SV 2012 môn Đại số - ĐHKHTN - ĐHQGHN

Thời gian: 90'


Câu 1:
a/ Cho $p$ là một số nguyên tố, $\zeta _{p}=cos(\frac{2\pi }{p})+isin(\frac{2\pi}{p}) \in \mathbb{C}$ là một căn nguyên thủy bậc $p$ của đơn vị. Giả sử $\mathbb{Q}(\zeta _{p})={f(\zeta _{p})}$ với $f(X)$ là đa thứ có hệ số hữu tỷ. Chỉ ra rằng $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ là một không gian vectơ con (trên $\mathbb{Q}$) của $\mathbb{C}$, và tính số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{p})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
b/ Trong trường hợp tổng quát, không giả thiết n là số nguyên tố, hãy dự đốn số chiều của $\mathbb{Q}f(\zeta _{n})$ xem như một $\mathbb{Q}$ - không gian vectơ.
Câu 2:
Cho một đa thức $P(x)$ bậc n hệ số thực với hệ số của bậc cao nhất là 1. Hãy tìm một ma trận $n\times n$ hệ số thực có đa thức đặc trưng bằng $P(x)$.
Câu 3:
Với mỗi ma trận vuông A, ta định nghĩa:

$sinA=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$

Tồn tại hay không một ma trận vuông cấp 2 hệ số thực sao cho:

$sinA=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &2012 \\ 0&1 \end{smallmatrix}\bigr)$

Câu 4:
Xét dãy số $(x_n)$ thỏa mãn: $x_{n+2}=ax_n+bx_{n+1}$ với $a,b$ là các hằng số. Đặt $A_n=\bigl(\begin{smallmatrix} x_{n}\\x_{n+1} \end{smallmatrix}\bigr)$. Khi đó:

$A_{n+1}=\bigl(\begin{smallmatrix} 0 &1 \\a &b \end{smallmatrix}\bigr)A_n$

Hãy viết $A_n$ theo $A_1$, với gợi ý đó hãy tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci.


#301736 Tính $ \sin^2 2x$ khi biết 1 đẳng thức lượng giác

Gửi bởi peacemaker trong 01-03-2012 - 16:26

TXĐ: $x\neq \frac{k\pi }{2}$
Điều kiện đề bài tương đương: $\frac{1}{tan^2x}+\frac{1}{cot^2x}+(\frac{1}{sin^2x}-1)+(\frac{1}{cos^2x}-1)=5$
$\Leftrightarrow cot^2x+tan^2x+cot^2x+tan^2x=5$
$\Leftrightarrow 2cot^2x+2tan^2x-4=1$
$\Leftrightarrow 2(tanx-cotx)^2=1$
$\Leftrightarrow \frac{(sin^2x-cos^2x)^2}{sin^2x.cos^2x}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{cos^22x}{sin^22x}=\frac{1}{8}$
Đến đây suy ra được $sin^22x=\frac{8}{9}$
Không biết có đúng không...
  • PSW yêu thích


#299637 Tìm quỹ tích điểm C để tam giác ABC đều khi B chạy trên đường tròn

Gửi bởi peacemaker trong 16-02-2012 - 15:49

Cho điểm A và 1 điểm B di động trên đường tròn (O;R) cố định.
a/ Dựng tam giác đều ABC, tìm quỹ tích của C khi B chạy trên đường tròn.
b/ Tìm quỹ tích tâm của tam giác ABC khi B chạy trên đường tròn.

P/s: Bài này có thể giải được bằng toán THCS :lol:
  • Nxb yêu thích


#290295 Có bao nhiêu cách xếp 8 con xe lên bàn cờ vua sao cho không có con xe nào nằm...

Gửi bởi peacemaker trong 26-12-2011 - 16:54

Trời, mình nhìn nhầm đề bài tưởng 8 con trên đường chéo chính thì mới không tính :(
Mà bài bạn Hoàng cũng có vấn đề:

Đặt con xe đầu tiên lên cột 1 thì có 6 cách (trừ đi hai ô nằm trên đường chéo).
Đặt con xe thứ hai lên cột 2 có 5 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và một ô nằm cùng hàng với con xe 1).

Nếu con Xe nằm ở B1 thì con Xe hàng 2 vẫn có 6 cách chọn vì ô nằm cùng hàng với con Xe 1 đó thuộc đường chéo chính mà
PS: Mình có 1 VD thỏa mãn: Xe F1, E2, A3, B4, G5, H6, D7, C8, đặt lên bàn cờ thử xem


#290041 Có bao nhiêu cách xếp 8 con xe lên bàn cờ vua sao cho không có con xe nào nằm...

Gửi bởi peacemaker trong 25-12-2011 - 10:20

Đặt 8 con xe vào 8 hàng A,B,C,D,E,F,G,H
$\Rightarrow$ Có 8 cách đặt xe ở hàng A, vd Xe Ak
$\Rightarrow$ 7 cách đặt xe ở hàng B (do ko tính cột k).....
$\Rightarrow$ 1 cách đặt xe hàng H
Có $8!$ cách; trừ 2 cách của đường chéo chính còn 40318 cách


#287731 Tìm min $\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+M...

Gửi bởi peacemaker trong 11-12-2011 - 17:53

Tam giác đều có tính chất $MD+ME+MF=h$ với h là chiều cao tam giác (cm bằng diện tích)
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz:
$((MD+ME)+(ME+MF)+(MF+MD)).(\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD})\geq 9$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD} \geq \dfrac{9}{2h}$
Dấu = xảy ra khi $MD=ME=MF=\dfrac{h}{3}$, tức M là trọng tâm tam giác ABC


#287715 Giải phương trình:$2\sqrt[n]{(1+x)^2}+3\sqrt[n]{1-x^2}+\s...

Gửi bởi peacemaker trong 11-12-2011 - 16:31

TXĐ:$x\in[-1;1]$ nếu n chẵn; $x\in R$ nếu n lẻ
Đặt $\sqrt[n]{x+1}=a$; $\sqrt[n]{1-x}=b$
Pt trở thành $2a^2+3ab+b^2=0$
$\Leftrightarrow (2a+b)(a+b)=0$
Đến đây chia trường hợp ra mà giải,đừng quên TXĐ


#287675 P=$\sqrt{\dfrac{(x^{3}-3)^{2}+12x^{3}}{x^{2}}}+\sqrt{(x+2...

Gửi bởi peacemaker trong 11-12-2011 - 10:49

$\Leftrightarrow P=\sqrt{\dfrac{(x^3+3)^2}{x^2}}+\sqrt{(x-2)^2}$
$\Leftrightarrow P=\left | \dfrac{x^3+3}{x} \right |+\left | x-2 \right |$
Từ đây quy về bài toán tìm x nguyên để $\dfrac{x^3+3}{x}$ nguyên,cái này chắc bạn làm được.


#287481 2.Tìm số các số tự nhiên 6 chữ số mà mỗi chữ số xuất hiện ít nhất 2 lần.

Gửi bởi peacemaker trong 10-12-2011 - 08:27

Bài 3:
Chọn 7 học sinh vào 7 ghế $\Rightarrow$ có $7!$ cách chọn
Nhét ghế trống vào giữa (và 2 bên phía ngoài) 7 ghế trên $\Rightarrow$ 3 ghế với 8 khoảng trống có $_{8}^{3}\textrm{C}$ cách
$\Rightarrow$Tổng cộng có $7!. _{8}^{3}\textrm{C}=282240$ cách
Bài 5:
Viết 8 chữ x ra $\Rightarrow$ có 9 khoảng trống
Chọn 5 khoảng trống để chèn nguyên âm vào giữa $\Rightarrow$ có $_{9}^{5}\textrm{C}$ cách chọn khoảng trống, mỗi cách chọn khoảng trống có $5!$ cách xếp nguyên âm
$\Rightarrow$Tổng cộng có $5!._{9}^{5}\textrm{C}=15120$ cách
PS:mình chưa kiểm chứng kết quả đâu nhé
Mà bài 1 chỉ có 1 chữ cái b thôi à,


#287414 Cho 3 số phân biệt a,b,c. CMR có ít nhất 1 trong 3 số sau đây là số dương:

Gửi bởi peacemaker trong 09-12-2011 - 20:15

Bài 3:
$\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}<\dfrac{1}{(2n+1)^2-1}=\dfrac{1}{4n(n+1)}=\dfrac{1}4{}.(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$
$\Rightarrow A<\dfrac{1}{4}.(1-\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})=\dfrac{1}{4}.(1-\dfrac{1}{n+1})<\dfrac{1}{4}$
Bài 7:
$\Leftrightarrow (\dfrac{x^{2}}{y^2}+2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}+\dfrac{y^2}{x^2})-3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})+2\geq 0\Leftrightarrow (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2-3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})+2\geq 0$
Đặt $t=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$
bpt trở thành $t^2-3t+2\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$ luôn đúng do $t\geq 2$
Bài 4:(cm vế trái)
Áp dụng bdt Cauchy - Schwarz cho 2 số $\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(a+b)\leq \sqrt{a^2+b^2}$
tương tự $\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(b+c)\leq \sqrt{b^2+c^2}$ và $\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(c+a)\leq \sqrt{c^2+a^2}$
cộng vào ta có đpcm
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c\Rightarrow$ tam giác ABC đều