Tìm kiếm
Nam
Gửi bởi Môn thi: Đại số
Thời gian: 150'
Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính $f:M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$
a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho $f(A)=Tr(AC)$.
b/ Nếu thêm giả thiết $f(AB)=f(BA)$ với mọi $A,B$ thì tồn tại $\alpha \in \mathbb{R}$ sao cho $f(A)=\alpha Tr(A)$.
Bài 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận
$$\begin{pmatrix} I_{n} &A \\ 0 & I_{n} \end{pmatrix}$$
là một ma trận chéo hóa được. Ở đó $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n.Bài 3: Cho $x_{i},y_{i},1\leq i\leq n$ là các số phức với $x_{i}y_{j} \neq 1$ với mọi cặp $x_{i},y_{j}$. Tính định thức $D_{n}$ của ma trận $M=(m_{i,j})_{n\times n}$, ở đó:
$$m_{i,j}=\frac{1}{1-x_{i}y_{j}}$$
Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận unita cỡ $n\times n$ với hệ số phức. Chứng minh rằng $\left | det(A+B) \right |\leq 2^{n}$
Bài 5:
a/ Cho $A\in M_{3}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Chứng minh rằng $A=I$
b/ Cho $A\in M_{4}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Kết luận $A=I$ có còn đúng không? Tại sao?
Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn:
$$P(x)P(x+1)=P(x^2),\forall x\in\mathbb{R}$$
Định nghĩa và ký hiệu:
(1) Tr(B) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B
(2) $M_{n}(\mathbb{Q})=\left \{ (a_{i,j})_{n\times n}|a_{i,j}\in\mathbb{Q} \right \}$
(3) Giả sử $A=(a_{i,j})_{n\times n}$. Ma trận phụ hợp phức $A^*=(a_{i,j}^{*})_{n\times n}$ của A được định nghĩa như sau: $a_{i,j}^{*}=\bar{a_{j,i}}$.
Ma trận A được gọi là unita nếu $AA^*=A^*A=I$
Môn thi: Giải tích
Thời gian:120'
Bài 1: Tính giới hạn sau:
$$\lim_{x\to 0^+}\int_{x}^{2x}\frac{sin(2t)}{t^n}dt$$
Bài 2: Cho $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi (x)$ sao cho:
$$\varphi' (x)=g(\varphi (x)),\forall x\in \mathbb{R}$$
Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to +\infty} \varphi (x)=b$ thì $g(b)=0$
Bài 3: Cho hai dãy số thực$\left \{ x_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ và $\left \{ y_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. $x_{n+1}\geq x_{n},\forall n=0,1,2,...; x_{0}=0;\lim_{n \to \infty}x_{n}=+\infty$.
2. $\lim_{n \to \infty}y_{n}=1$.
Chứng minh rằng:
$$\lim_{N\to +\infty}\frac{\sum_{n=1}^{N}(x_{n}-x_{n-1})y_{n}}{x_{N}}=1$$
Bài 4: Cho hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$.
2. $f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$.
Chứng minh rằng:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$$
Bài 5: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với các hệ số $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ và $a \neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên $(x,y),x\neq y$ sao cho $xP(x)=yP(y)$. Chứng minh rằng phương trình $P(x)=0$ có nghiệm nguyên.
- vo van duc, phudinhgioihan, YeuEm Zayta và 2 người khác yêu thích
