Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


peacemaker

Đăng ký: 09-12-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

Chủ đề của tôi gửi

Đề thi Olympic sinh viên năm 2013 trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội

10-03-2013 - 18:27

Môn thi: Đại số

Thời gian: 150'



Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính $f:M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}$
a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho $f(A)=Tr(AC)$.
b/ Nếu thêm giả thiết $f(AB)=f(BA)$ với mọi $A,B$ thì tồn tại $\alpha \in \mathbb{R}$ sao cho $f(A)=\alpha Tr(A)$.

Bài 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận


$$\begin{pmatrix} I_{n} &A \\ 0 & I_{n} \end{pmatrix}$$

là một ma trận chéo hóa được. Ở đó $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n.

Bài 3: Cho $x_{i},y_{i},1\leq i\leq n$ là các số phức với $x_{i}y_{j} \neq 1$ với mọi cặp $x_{i},y_{j}$. Tính định thức $D_{n}$ của ma trận $M=(m_{i,j})_{n\times n}$, ở đó:

$$m_{i,j}=\frac{1}{1-x_{i}y_{j}}$$


Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận unita cỡ $n\times n$ với hệ số phức. Chứng minh rằng $\left | det(A+B) \right |\leq 2^{n}$

Bài 5:
a/ Cho $A\in M_{3}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Chứng minh rằng $A=I$
b/ Cho $A\in M_{4}(\mathbb{Q})$ là một ma trận thỏa mãn điều kiện $A^5=I$. Kết luận $A=I$ có còn đúng không? Tại sao?

Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn:


$$P(x)P(x+1)=P(x^2),\forall x\in\mathbb{R}$$



Định nghĩa và ký hiệu:
(1) Tr(B) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B
(2) $M_{n}(\mathbb{Q})=\left \{ (a_{i,j})_{n\times n}|a_{i,j}\in\mathbb{Q} \right \}$
(3) Giả sử $A=(a_{i,j})_{n\times n}$. Ma trận phụ hợp phức $A^*=(a_{i,j}^{*})_{n\times n}$ của A được định nghĩa như sau: $a_{i,j}^{*}=\bar{a_{j,i}}$.
Ma trận A được gọi là unita nếu $AA^*=A^*A=I$




Môn thi: Giải tích

Thời gian:120'



Bài 1: Tính giới hạn sau:


$$\lim_{x\to 0^+}\int_{x}^{2x}\frac{sin(2t)}{t^n}dt$$


Bài 2: Cho $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi (x)$ sao cho:

$$\varphi' (x)=g(\varphi (x)),\forall x\in \mathbb{R}$$


Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to +\infty} \varphi (x)=b$ thì $g(b)=0$

Bài 3: Cho hai dãy số thực$\left \{ x_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ và $\left \{ y_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. $x_{n+1}\geq x_{n},\forall n=0,1,2,...; x_{0}=0;\lim_{n \to \infty}x_{n}=+\infty$.
2. $\lim_{n \to \infty}y_{n}=1$.
Chứng minh rằng:

$$\lim_{N\to +\infty}\frac{\sum_{n=1}^{N}(x_{n}-x_{n-1})y_{n}}{x_{N}}=1$$


Bài 4: Cho hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$.
2. $f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$.
Chứng minh rằng:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$$

Bài 5: Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với các hệ số $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ và $a \neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên $(x,y),x\neq y$ sao cho $xP(x)=yP(y)$. Chứng minh rằng phương trình $P(x)=0$ có nghiệm nguyên.

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^3}-\sqrt{1+x^3}}{sin^2x.ln(1+...

04-06-2012 - 09:26

Tìm \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^3}-\sqrt{1+x^3}}{sin^2x.ln(1+x)}

P/s: Bài này không thể dùng L'Hospital đúng không?

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^3}-\sqrt{1+x^3}}{sin^2x...

04-06-2012 - 09:24

Tìm $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^3}-\sqrt{1+x^3}}{sin^2x.ln(1+x)}$

P/s: Bài này không thể dùng L'Hospital đúng không?

Tìm quỹ tích điểm C để tam giác ABC đều khi B chạy trên đường tròn

16-02-2012 - 15:49

Cho điểm A và 1 điểm B di động trên đường tròn (O;R) cố định.
a/ Dựng tam giác đều ABC, tìm quỹ tích của C khi B chạy trên đường tròn.
b/ Tìm quỹ tích tâm của tam giác ABC khi B chạy trên đường tròn.

P/s: Bài này có thể giải được bằng toán THCS :lol:

Tìm min R của đường tròn đi qua 8 điểm có tọa độ nguyên

15-01-2012 - 14:21

Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đi qua 8 điểm có tọa độ nguyên