GaDiHoc

đến đoạn :\[
\dfrac{1}{2}\int_0^1 {\dfrac{{d(a^2 + 1)}}{{a^2 + 1}}} + \int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{a^2 + 1}}}
\]

đúng: đoạn sau sai mà phải là:
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}\int_0^1 {\dfrac{{d(a^2 + 1)}}{{a^2 + 1}}} + \int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{a^2 + 1}}} = \dfrac{1}{2}\ln |a^2 + 1|_0^1 + {\rm{arctga|}}_0^1 \\
= \dfrac{{\ln 2}}{2} + \dfrac{\pi }{4} \\
\end{array}
\]

bài của bạn chỉ sai 1 lỗi nhỏ la quyên không thế cận(a=1==>tga=pi/4)

\[
\begin{array}{l}
I = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx = x\sqrt {x^2 + 1} - } \int {\dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {x^2 + 1} }}dx = } x\sqrt {x^2 + 1} - \int {\dfrac{{x^2 + 1 - 1}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}dx} \\
\\
= x\sqrt {x^2 + 1} - I + \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} = } > 2I = x\sqrt {x^2 + 1} + \ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c_1 \\
\Rightarrow I = \dfrac{x}{2}\sqrt {x^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c \\
\end{array}
\]

nhân tiện CM luôn:D công thức nay không biết có được dùng thẳng không:
Tổng Quát:
\[
\int {\sqrt {x^2 + a} } dx = \dfrac{x}{2}\sqrt {x^2 + a} + \dfrac{a}{2}\ln |x + \sqrt {x^2 + a} | + c
\]

\[
\begin{array}{l}
J = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx = \int {x\sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}} } } dx \\
u = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}} \Rightarrow x^2 = \dfrac{1}{{u^2 - 1}} \Rightarrow xdx = \dfrac{{udu}}{{(u^2 - 1)^2 }} \\
J = \int {\dfrac{{u^2 du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \int {\dfrac{{u^2 - 1 + 1du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \int {\dfrac{{du}}{{u^2 - 1}}} + \int {\dfrac{{du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \dfrac{1}{2}\ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}| + K \\
k = \int {\dfrac{{du}}{{(u - 1)(u + 1)^2 }}} = \dfrac{1}{4}\int {\left( {\dfrac{1}{{\left( {u - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{u + 1}}} \right)} ^2 du = \dfrac{1}{4}\int {\left( {\dfrac{1}{{\left( {u - 1} \right)^2 }} - \left( {\dfrac{1}{{u - 1}} - \dfrac{1}{{u + 1}}} \right) + \dfrac{1}{{(u + 1)^2 }}} \right)} du \\
k = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{1 - u}} - \dfrac{1}{{u + 1}} - \ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}|} \right) \\
I = \dfrac{1}{2}\ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}| + \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{1 - u}} - \dfrac{1}{{u + 1}} - \ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}|} \right) \\
\end{array}
\]

tách 1=1/2[1+x^4+(1-x^4)] o trên tử
sau đó:
tách nguyên hàm I thành (1+x^4)/(1+x^8)+(1-x^4)/(1+x^8)
chia cả tử và mẫu cho x^4
sau đó đặt x+1/x,x-1/x=t
thế là ra KQ rồi.
mình không biết gõ nguyên hàm.chỉ có thể gợn ý thôi
tham khảo kỹ thuật đặt u(x)("kỹ thuật nhảy tầng lầu")