Karl Heinrich Marx

Lâu lắm rồi không "ngó" đến chủ đề này. Qua một khoảng thời gian tương đối lâu tôi thử tìm kiếm trên mạng về các bài viết, tài liệu hướng dẫn, luyện thi, vân vân... liên quan đến các đẳng thức hệ số tổ hợp thì chợt nhận ra rằng: Hầu hết các tài liệu đó đều mang tính khuôn mẫu, na ná như nhau và rất nhàm chán!
Chẳng hạn như: "Ứng dụng đạo hàm và tích phân để chứng minh và tính tổng các hệ số nhị thức"
Theo tôi thấy nó chỉ "tiện" chứ không nêu lên được bản chất nội tại của nó như quy tắc hút hay đảo chiều, v.v...
Hay như việc nhận biết và đưa vào một số thủ thuật nhỏ trong "dấu hiệu" của tổng (viết dưới dạng liệt kê) chỉ đơn thuần là các phép biến đổi cơ bản khi viết tổng dưới dạng $\sum$
Rất nhiều tài liệu, phương pháp trên mạng không thể giải quyết nổi dù là một bài tập trong ĐTTH ở đây bạn có tin không?
Không bàn đến "độ khó" mà là phương thức tiếp cận một bài toán cần phải "linh động" hơn, đôi khi chẳng cần phải đạo hàm, tích phân hay biến đổi gì đó mà chỉ cần tìm cách "đếm" là đủ!
ĐTTH đã tồn tại một thời gian khá lâu mà chưa có một cuốn sách nào một tài liệu (tiếng Việt) tương đương nào xứng "tầm" với nó, quả thực là một điều đáng buồn!
Đôi lời cảm nhận cá nhân, bạn thấy thế nào? (Gạch đá quăng hết vào đây )

Đến hôm nay em mới được đọc tài liệu này của mọi người (rất tiếc vì tài liêu này ra vào thời điểm mà em còn không quan tâm đến toán nhiều nữa). Phải công nhận là tài liệu này rất hay và có một sự đầu tư lớn. Tuy nhiên em có một số ý kiến cá nhân như thế này.

Tài liệu này thực sự thiên quá nhiều về kĩ thuật. Ở một khía cạnh nào đó, đây là một tài liệu xuất sắc trong việc đưa ra những kĩ thuật chứng minh đẳng thức. Theo ý kiến chủ quan của em thì có lẽ chỉ một số ít các bạn thi QG hay gần như thế là có thể đọc hết được.

Tài liệu trình bày rất tốt cách chứng minh các đẳng thức, tuy nhiên không nhiều trong đó nêu ra những đẳng thức đấy thể hiện điều gì và tại sao người ta đặt ra được một đẳng thức như vậy. Tài liệu này có thể giúp chúng ta thỏa mãn việc giải được toán chứ chưa hẳn là hiểu được toán.

Cái hay của toán học đó là nó trình bày thực tế bằng ngôn ngữ logic (vì thế nên nó khó hiểu). Chẳng hạn để thể hiện hàm số $f$ có đồ thị là một đường liền nét, vậy trong ngôn ngữ toán liền nét định nghĩa như thế nào? Tại mọi điểm $x_0$ thì hàm $f$ tồn tại lim trái và lim phải khi $x$ tiến đến $x_0$ và 2 giá trị này đều bằng $f(x_0)$, hay là chúng ta hỏi một đứa nhỏ hình tròn là hình gì? Dù rằng hẳn là nó sẽ biết hình tròn như thế nào và hình dung được nhưng khẩ năng cao là nó không thể đưa ra cái định nghĩa là tập hợp tất cả những điểm cách đều một điểm cố định một khoảng cách không đổi được . Có thể không nhất thiết chúng ta đưa ra cách hình dung cụ thể cho những công thức toán nhưng có thể chỉ cho người đọc thấy rằng một công thức hay một bài toán trông khó như vậy, nó được xây dựng lên từ những điều cơ sở nào, bằng những cách tương tự như thế chúng ta có thể tạo ra những bài toán khó khác như thế nào? Em nghĩ những điều như thế cần cho cộng đồng các bạn học toán hơn, nó sẽ giúp nhiều bạn yêu thích toán hơn.

Điều cuối cùng em chỉ muốn nói là em chém gió vậy thôi chứ bảo em viết một tài liệu như em nói thì em cũng không làm được đâu Gạch đá em xin nhận

Chúc mừng mọi người vì đã tạo ra một tài liệu tuyệt vời. Nếu như mọi người có một dự án hay ho gì đó sắp tới thì hi vọng em có thể đóng góp chút gì đó.

Em thì may mắn hơn anh là được tiếp xúc với báo toán và diễn đàn toán từ sớm Nhưng em ngược anh ở chỗ là chỉ thích hình học. Em thích cái cảm giác cho chạy chạy các điểm trên hình vẽ bằng SketchPad rồi tìm ra những tính chất thú vị, vẽ các đường thẳng nối dài hết cỡ để xem có chi hay. Làm hình lâu nên em có một kiểu nhìn và mường tượng toàn bằng hình ảnh / hình học / sơ đồ, bất kể vấn đề gì. Tiếc là sau này không còn ngâm cứu toán hình nhiều nữa cơ mà cái cách tư duy thì vẫn còn đó, và em thấy nó rất hữu ích để áp dụng vô nhiều lĩnh vực khác.

Mỗi người có những điểm mạnh khác nhau và có những cách khác nhau để khai phá những ý tưởng của mình. Sẽ là thiển cận nếu cho rằng cứ phải giỏi tổ hợp hay số học các kiểu mới là thông minh. Điều quan trọng là cách tư duy của chúng ta giúp chúng ta làm được gì? Nếu chỉ dùng để làm toán thì đó là một điều đáng tiếc. Em có thể chia sẻ những áp dụng mà em thấy hay về cái cách tư duy của mình, điều đó có thể giúp khơi gợi cảm hứng từ các bạn khác và cũng giúp e hiểu hơn cách mà em tư duy nữa.

Phải thừa nhận một điều với anh là em cũng vậy, lúc nhỏ chỉ cắm cuối làm các câu trong sách giáo khoa và sách bài tập, khi đó nhà em cũng không có mạng để học tập, cũng chỉ cài các cuốn sách Vũ Hữu Bình trong thư viện. Đến tận mãi khi em vào cấp 3, em mới biết đến mùi của các tạp chí nổi tiếng như Toán học tuổi trẻ, Toán tuổi thơ, mới biết thế nào là nguyên lý Dirichlet, và mới bắt đầu biết đến các kì thi dành cho các cao thủ như Olympic 30/4, VMO hay IMO. Và đến cuối năm lớp 11 em mới biết đến các diễn đàn nổi tiếng như diendantoanhoc.net, mathlinks.ro.

  Nói về Toán học, em thấy nó khá là hay, em rất thích lối học kiểu suy ngược, tức là từ một vấn đề cho trước, ta khai thác mọi khía cạnh từ chúng để rồi vỡ òa trong nó là một bầu trời kiến thức, đặc biệt lúc nhỏ em rất thích mò mẫm các bài hình học lớp 7, vì nó rèn chúng ta năng lực tưởng tượng hình để kẻ thêm đường phụ rồi giải quyết bài toán. Và chính cách suy luận ngược này, đã làm em cảm thấy toán bắt đầu hay ho và nhiều điều mới lạ.!!!

Đúng vậy, cách suy luận ngược anh cũng hay dùng trong các bài toán chứng minh. Cái này giúp chúng ta tìm ra được thêm nhiều tính chất tương đương nhau, tức là có cái này sẽ suy ra cái kia. Vì thế chỉ cần chứng minh được một trong các tính chất có thể giúp mình có được cả một bộ! Cách này cho chúng ta một cái nhìn tổng quan và liên kết vấn đề, giúp tầm nhìn chúng ta tốt hơn. Đó là cơ sở để em dự đoán những cái mới và hiểu vấn đề một cách sâu sắc hơn. Có thể khi đưa ra lời giải các bài toán trên diễn đàn, em có thể trình bày trình tự cách em tư duy và những tính chất mới em suy ra, như thế sẽ giúp các bạn khác nhiều hơn. Cảm ơn em vì đã chia sẻ cách học toán của em.

Trên đường tròn cho n điểm, từ các điểm nói trên hiển nhiên ta có ${C_n}^2$ đoạn thẳng và tổng số các đa giác là

$({C_n}^3 + {C_n}^4 + {C_n}^5 + ... + {C_n}^n)$ .Hãy tìm số cách bỏ bi các đoạn thẳng sao cho không còn đa giác nào , biết rằng mỗi cách bỏ đi các đoạn thẳng như vậy thì mỗi điểm nói trên , vẫn tồn tại ít nhất một đoạn thẳng nhận nó làm đầu mút ?

Yêu cầu bài này phải phát biểu lại là với một cấu hình xóa đi các đoạn thẳng thỏa mãn 2 điều kiện nêu ra thì cấu hình này có nhiều nhất bao nhiêu đoạn thẳng.

Có nhiều nhất là $n-1$ đoạn thẳng (vd $1$ điểm nối với $n-1$ điểm còn lại chẳng hạn). Cái này liên quan đến định nghĩa cây ( đồ thị liên thông, không có chu trình) trong lý thuyết đồ thị.

Mình sẽ chỉ ra một cách chứng mình mình nghĩ ra (tham khảo sách về tính chất của cây với $n$ điểm có thể bạn sẽ tìm thấy chứng minh hay hơn).

- Hai điểm gọi là liên thông nếu có một đường đi tạo bởi ít nhất 2 đoạn thẳng nối hai điểm đó.

- Nếu một cấu hình thỏa mãn 2 điều kiện bài toán mà có hai điểm không liên thông, ta có thể nối chúng lại với nhau để có một cấu hình mới thỏa mãn yêu cầu mà có số đoạn thẳng lớn hơn. Do đó cần tìm max số đoạn thẳng trong trường hợp 2 điểm bất kì trong $n$ điểm liên thông với nhau.

- Xét một cấu hình thỏa mãn : không có đa giác, mỗi điểm trong $n$ điểm là mút của ít nhất một đoạn thẳng, cấu hình này có nhiều đoạn thẳng nhất và 2 điểm bất kì (khác 2 mút một đoạn thẳng) trong $n$ điểm liên thông với nhau. Xét tập $S$ chứa một điểm bất kì trong $n$ điểm.

- Mỗi bước ta xóa đi một đoạn thẳng thỏa mãn : đoạn thẳng này có một mút là một điểm thuộc $S$ và một điểm không thuộc $S$ và sau đó thêm cái điểm nằm ngoài $S$ của đoạn thẳng vừa xóa vào $S$.

- Rõ ràng khi tập $S$ chưa lấp đầy bởi $n$ phần tử thì luôn tìm được ít nhất một đoạn thẳng thỏa mãn để xóa. Nếu không các điểm trong $S$ không liên thông với điểm nào ngoài $S$.

- Khi đó tất cả các điểm thuộc $S$ mà không nối với nhau bởi một đoạn thẳng đã bị xóa thì liên thông với nhau.

- Khi tập $S$ đầy $n$ phần tử thì không còn đoạn thẳng nào nữa. Vì nếu tồn tại một đoạn thẳng nối 2 điểm trong $S$ mà đoạn này chưa bị xóa, khi đó tồn tại một đường đi lớn hơn 2 đoạn thẳng nối 2 điểm đó, như thế thì cấu hình ban đầu chứa một đa giác.

Vậy cấu hình ban đầu nêu ra có đúng $n-1$ đoạn thẳng.

Bảng này không phải bảng đầy đủ nhé bạn, lấy dãy nhị phân giống 2016 cột đầu của hai hàng này và đằng sau cho hai số 1,1 là thấy rõ.

À xin lỗi mình không chú ý đến điều kiện là đầy đủ. Nếu như vậy thì chỉ cần thêm một chút lập luận là xét một chuỗi $A$ bất kì sinh ra từ cái dòng ta muốn xóa. Nếu dòng này có một số $a$ nào đó là $0$ hoặc $1$ nằm ngoài $k$ cột đã nêu thì xét một chuỗi giống y chuỗi $A$ chỉ là thay cái cột chứa $a$ bằng $1-a$ (tức là đảo $0$ với $1$ và $1$ với $0$ thôi) thì bảng đầy đủ nên tồn tại một hàng sinh ra được chuỗi mới này và dĩ nhiên ở cái cột đó thì hàng đó không chứa gì cả, vì cột này chứa $a$ thì không chứa $1-a$. Do đó hàng này sẽ sinh ra được chuỗi $A$.