ngqhung

Cho các số a,b,c dương CMR:
@@4:

$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}+ca}\leq 1$

$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}+ca}$
$\leq \frac{ab}{\frac{3}{4}(a+b)^2}+\frac{bc}{\frac{3}{4}(c+b)^2}+\frac{ca}{\frac{3}{4}(c+a)^2}$
$\leq \frac{\frac{1}{4}(a+b)^2}{\frac{3}{4}(a+b)^2}+\frac{\frac{1}{4}(b+c)^2}{\frac{3}{4}(c+b)^2}+\frac{\frac{1}{4}(c+a)^2}{\frac{3}{4}(c+a)^2}$
$\leq 1$

@@3:

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2ac}\geq a+b+c$

Chắc thiếu đk rồi, với $a=b=c >1 $ thì không đúng

Giải phương trình: $$\ln (\sin x + 1) = {e^{\sin x}} - 1$$

--------------------------------------------

Ta có:
+$Ln(x) \leq x-1 $ dấu bằng xảy ra khi x=1
+$e^x \geqslant x+1$ dấu bằng xảy ra khi x=0
2 BĐT này xét đạo hàm ta dễ dàng cm được.
$=>$
+$VT = Ln(sinx +1) \leq sinx$
+$VP = e^{sinx} -1 \geqslant sinx$
$VT = VP $
$<=> \left\{\begin{matrix} Ln(sinx+1) = sinx
\\
e^{sinx}-1 = sinx
\end{matrix}\right.$
$<=> \left\{\begin{matrix} sinx +1 =1
\\
sinx = 0
\end{matrix}\right.$
=>$ sinx =0$
....

Còn nếu đề là

$\ln (\sin x + 1) = e^{\sin x - 1}$

Cũng cm tương tự như trên
Ta có:
+$Ln(x) \leq x-1 $ dấu bằng xảy ra khi x=1
+$e^x \geqslant x+1$ dấu bằng xảy ra khi x=0
2 BĐT này xét đạo hàm ta dễ dàng cm được.
$=>$
+$VT = Ln(sinx +1) \leq sinx$
+$VP = e^{sinx -1} \geqslant sinx$
$VT = VP $
$<=> \left\{\begin{matrix} Ln(sinx+1) = sinx
\\
e^{sinx-1} = sinx
\end{matrix}\right.$
$<=> \left\{\begin{matrix} sinx +1 =1
\\
sinx -1 = 0
\end{matrix}\right.$
Dấu bằng không thể xảy ra. Vậy pt vô nghiệm.

pt này có nghiệm x=3 ; y=2 => Đề vô nghĩa

$$\left\{ \begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}+2x +8y +6=0\\{x^2} +xy +y +4x +1 =0\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}+2x +8y +6=0\\{x^2} +xy +y +4x +1 =0\end{array} \right.$$
$<=> \left\{ \begin{array}{l} (x+1)^2 +2(y+2)^2 = 3 \\{x^2} +xy +y +4x +1 =0\end{array} \right.$
đặt $<=> \left\{ \begin{array}{l} a = x+1 \\ b=y+2 \end{array} \right.$
hệ tương đương với:
$<=> \left\{ \begin{array}{l} a^2 +2b^2 = 3 \\ (a-1)^2 + (a-1)(b-2) + b-2 +4(a-1) +1=0\end{array} \right.$
$<=> \left\{ \begin{array}{l} a^2 +2b^2 = 3 \\ a^2 +ab =-2 \end{array} \right.$
hệ đẵng cấp...
bạn giải sẽ ra được :
$<=> \left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a= -4b \end{array} \right.$
với a = b sẽ được nghiệm
$ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y =-1 \end{array} \right.$ hay $ \left\{ \begin{array}{l} x= -2 \\ y =-3 \end{array} \right.$
với a=-4b sẽ được nghiệm
$\left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{-4}{\sqrt[2]{6}} -1 \\ y = \dfrac{1}{\sqrt[2]{6}} -2 \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{4}{\sqrt[2]{6}} -1 \\ y = \dfrac{-1}{\sqrt[2]{6}} -2 \end{array} \right.$