daovuquang

Em cũng xin phần thưởng là bào TH&TT, gửi tới địa chỉ: "Số nhà 12, lô 4D, đường Trung Yên 10, khu Trung Yên, Cầu Giấy, Hà Nội". (gửi từ số tháng 8 nhé thầy )

Bài làm của daovuquang:

 MSS27.png   218.59K   137 Số lần tải

Lấy $F$ là trung điểm $BC \Rightarrow OF \perp BC \Rightarrow \widehat{OFE}=90^o$.

$DE$ là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow \widehat{ODE}=90^o$

$\Rightarrow OFDE$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EFD}=\widehat{EOD}=\widehat{AOM}$.

Mặt khác, $ABDC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BCD}$.

Suy ra $\triangle{AOM} \sim \triangle{CFD}\; (g.g)$

$\Rightarrow \frac{OM}{FD}=\frac{AO}{CF}$

$\Rightarrow OM.CF=OA.FD\; (1)$

Tương tự, $\triangle{AON} \sim \triangle{BFD}\; (g.g)$

$\Rightarrow ON.BF=OA.FD\; (2)$

Từ $(1),(2) \Rightarrow OM.CF=ON.BF$

$\Rightarrow OM=ON$ (do $F$ là trung điểm $BC$)

$\Rightarrow$ đpcm.

 

Điểm bài 10

S  = 18 + 10*3 = 48

Bài làm của daovuquang:

Theo giả thiết, ta có hệ: $\begin{cases} x^4+y^4+4x^2y^2-3xy(x^2+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1 \end{cases}$

tương đương với $\begin{cases} (x-y)^2(x^2-xy+y^2)=0 \\ x+x^3+x^2y-xy^2-y^3=1\; (*) \end{cases}$

Trường hợp 1: $(x-y)^2=0 \Leftrightarrow x=y$

Thay vào $(*)$, ta có: $x+x^3+x^3-x^3-x^3=1$

$\Leftrightarrow x=1$.

Suy ra $x=y=1$.

Trường hợp 2: $x^2-xy+y^2=0$

$\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{y}{2}$ và $\frac{3y^2}{4}=0$ (do vế trái $\geq 0$ nên dấu đẳng thức phải xảy ra)

$\Leftrightarrow x=y=0$.

Khi đó ta thay vào $(*)$ thì lại có $0=1 \Rightarrow$ loại.

Kết luận: Vậy $x=y=1$.

 

Điểm bài 10

S = 26 + 10*3 = 56

Bài làm của daovuquang:

Ta có: $(ab+bc+ca)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=a^2+b^2+c^2+(\frac{ab^2}{c}+ac)+(\frac{bc^2}{a}+ba)+(\frac{ca^2}{b}+bc)$

$\Rightarrow (ab+bc+ca)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$ (theo Cô si 2 số)

$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$.

Theo giả thiết: $S=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{3}(a+b+c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+\frac{(1-\sqrt{3})(a+b+c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\geq 2\sqrt{\frac{\sqrt{3}(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}+\frac{(1-\sqrt{3})(a+b+c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ (Cô si 2 số)

Mặt khác, ta có: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leq \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{(1-\sqrt{3})(a+b+c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \geq \sqrt{3}(1-\sqrt{3})$.

Áp dụng Cô si 2 số, ta có với $x,y,z$ dương thì:

$x^3+y^3+z^3+xyz$

$\geq 2\sqrt{x^3y^3}+2\sqrt{z^3.xyz}$

$\geq 4\sqrt[6]{x^6y^6z^6}$

$=4xyz$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$.

$\Rightarrow (\frac{x+y+z}{3})^3 \geq (\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{3})^3=xyz$.

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)(ab+bc+ca) \leq [\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{3}]^3=\frac{(a+b+c)^6}{27}$

$\Rightarrow 2\sqrt{\frac{\sqrt{3}(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)\sqrt{a^2+b^2+c^2}}} \geq 2\sqrt{\frac{\sqrt{3}.\sqrt{27}(a+b+c)^3}{(a+b+c)^3}}=6$.

Suy ra: $S \geq 6+\sqrt{3}(1-\sqrt{3})=3+\sqrt{3}$.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$.

Kết luận: Vậy $S \geq 3+\sqrt{3}$. Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$.

 

Nhận xét: 

Bài làm trình bày khá rối,một số chỗ nên để xuống dòng cho công thức để không bị lỗi tràn công thức ở 2 dòng khác nhau.

Lời giải tốt,tuy còn dài dòng.

 

Điểm: 10/10

 

S = 25 + 3*10 = 55

Có mấy chỗ bạn nhầm dấu + thành dấu =.

P/S: các bạn thi thế nào