Ban Biên Tập

Ngày 29 tháng 2 chỉ xảy ra vào những năm nhuận. Ngày 29 tháng 2 là ngày thứ 60 trong một năm nhuận của lịch Gregory. Theo định nghĩa, năm nào có ngày này là một năm nhuận. Nó chỉ xuất hiện mỗi bốn năm một lần như 1996, 2000, 2004, 2008, 2012 và 2016.

 

Liên quan đến vấn đề này, một câu hỏi khác được đặt ra: Tại sao tháng 2 lại có 28 ngày(năm nhuận là 29 ngày) trong khi các tháng khác trong năm đều có 30 hoặc 31 ngày?

 

Vì những năm 46 trước Công nguyên, thống soái La Mã Julius César khi định ra lịch dương, quy định ban đầu là mỗi năm có 12 tháng, tháng lẻ là tháng đủ, có 31 ngày; Tháng chẵn là tháng thiếu, có 30 ngày. Tháng 2 là tháng chẵn lẽ ra cũng phải có 30 ngày. Nhưng nếu tính như vậy thì một năm không phải có 365 ngày mà là 366 ngày. Do đó phải tìm cách bớt đi một ngày trong một năm.

 

Vậy thì bớt đi một ngày trong tháng nào?

 

Lúc đó, theo tập tục của La Mã, rất nhiều phạm nhân đã bị xử tử hình, đều bị chấp hành hình phạt vào tháng 2, cho nên mọi người cho rằng tháng đó là tháng không may mắn. Trong một năm đã phải bớt đi một ngày, vậy thì bớt đi một ngày trong tháng 2 , làm cho tháng không may mắn này bớt đi một ngày là tốt hơn. Do đó tháng 2 còn lại 29 ngày, đó chính là lịch Julius.

 

Sau này, khi Augustus kế tục Julius César lên làm Hoàng đế La Mã. Augustus đã phát hiện ra Julius César sinh vào tháng 7, theo lịch Julius thì tháng 7 là tháng đủ, có 31 ngày, Augustus sinh vào tháng 8, tháng 8 lại luôn là tháng thiếu, chỉ có 30 ngày. Để biểu thị sự tôn nghiêm như Julius César, Augustus đã quyết định sửa tháng 8 thành 31 ngày. Đồng thời cũng sửa lại các tháng khác của nửa năm sau. Tháng 9 và tháng 11 ban đầu là tháng đủ thì sửa thành tháng thiếu. Tháng 10 và tháng 12 ban đầu là tháng thiếu sửa thành tháng đủ. Như vậy lại nhiều thêm một ngày, làm thế nào đây? Lại lấy bớt đi một ngày trong tháng 2 không may mắn nữa, thế là tháng 2 chỉ còn 28 ngày.

 

Hơn 2.000 năm trở lại đây, sở dĩ mọi người vẫn tiếp tục dùng cái quy định không hợp lý này chỉ vì nó là một thói quen. Những người nghiên cứu lịch sử trên thế giới đã đưa ra rất nhiều phương án cải tiến cách làm lịch, họ muốn làm cho lịch được hợp lý hơn.

 

Trở lại Lịch Gregory. Như chúng ta biết, Lịch Gregory là một bộ lịch mới do Giáo hoàng Grêgôriô XIII đưa ra vào năm 1582. Lịch Gregory chia thành 12 tháng với 365 ngày, cứ 4 năm thì thêm một ngày vào cuối tháng 2 tạo thành năm nhuận. Vì vậy theo lịch Julius thì một năm có 365,25 ngày. Nhưng độ dài của năm mặt trời là 365,242216 ngày cho nên lịch Julius dài hơn khoảng 0,0078 ngày trong một năm, tức là khoảng 11 phút 14 giây.

 

Để bù vào sự khác biệt này thì cứ 400 năm ta sẽ bỏ bớt đi 3 ngày năm nhuận. Cho đến năm 1582, thì sự sai biệt đã lên đến 10 ngày. Giáo Hoàng Gregory XIII quyết định bỏ 10 ngày trong tháng 10 năm đó để cho lịch và mùa màng tương ứng trở lại. Sau ngày 4 tháng 10 năm 1582 là ngày 15 tháng 10. Và để tránh sai biệt, lịch lấy năm nhuận là năm có số thứ tự chia hết cho 4 (như năm 1964, 1980, 2004, ...) và các năm tận cùng bằng 00 phải chia hết cho 400 mới là năm nhuận (năm 2000 chia hết cho 4 và 400 nên là năm nhuận, những năm 1700 1800 và 1900 chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 400 nên không phải là năm nhuận, ...). Lịch đã sửa mang tên lịch Gregory và được áp dụng cho đến bây giờ.

 

Ngày 29 tháng 2 ngày nay ra sao?

 

Nói về ngày này thì trước tiên : Đứa trẻ nào chào đời vào đúng ngày 29 tháng 2 mà muốn mừng sinh nhật đúng ngày,thì phải đợi đến 4 năm nữa. Lý do tháng này năm nay có ngày nhuần, có đến 29 ngày chứ không phải 28 ngày như của mọi tháng Hai khác.

 

Tại một số quốc gia, để tiện việc, chính phủ sở tại có thể cho đứa trẻ sinh ra trong ngày 29 tháng Hai được kê trong giấy khai sinh là sinh ngày 28 tháng Hai hay sinh ngày 1 tháng Ba. (Theo tập tục của Pháp. Tuỳ cha mẹ chọn ngày sinh 28 -29- hoặc 1tháng 3).

 

Ngoài ra ngày 29 tháng 2 còn là Ngày phái đẹp tỏ tình. Cứ 4 năm mới có một ngày 29/2, ngày này ở châu Âu được coi là “Ngày phụ nữ tỏ tình” - tức là phái đẹp chủ động cầu hôn với giới mày râu.

 

Đây là phong tục lâu đời ở Anh, người Scottland đã thông qua đạo luật lấy ngày 29/2 là “Ngày quyền lợi phụ nữ”. Hồi đó, Nữ hoàng Margarit đã tuyên bố: Trong ngày này phụ nữ có thể cầu hôn với đàn ông và tiến hành trừng phạt những gã đàn ông thích thả dê nhưng lại chối bỏ trách nhiệm.

 

Từ thế kỷ XVII, phong tục này đã lan ra khắp châu Âu. Ngày 29/2/2004 đã có hơn 7.000 phụ nữ Anh chủ động cầu hôn, trong đó có cô MC một đài truyền hình đã cầu hôn bạn trai ngay trên sóng truyền hình và đã thành công.

 

Hiện nay, những vị mày râu nào từ chối lời cầu hôn của bạn gái trong ngày này sẽ phải nộp 1 Bảng tiền “thế chấp” hoặc phải tặng một tấm áo lụa cho người con gái bị tổn thương, nhưng tình huống này rất hiếm khi xảy ra.

 

Theo thống kê, trong ngày 29/2 lần trước có tới 92% đàn ông được ngỏ lời đã vui mừng chấp nhận tình cảm của bạn gái, 4% lúc đầu không đồng ý vì bất ngờ, nhưng sau khi suy nghĩ đã vui vẻ chấp thuận. Đối với nhiều phụ nữ Anh, 29/2 là một ngày có ý nghĩa quyết định trong cuộc đời.

 

Trong lịch sử đã có rất nhiều nhân vật nổi tiếng đã nên duyên nhờ chủ động cầu hôn trong ngày này. Tiêu biểu là nữ minh tinh điện ảnh người Hungary G. Garbo. Bà từng tuyên bố: Cả 9 người chồng trong cuộc đời đều do bà chủ động cầu hôn và bà giải thích “phụ nữ phải hướng dẫn ý thích của đàn ông”.

a

BÀI TẬP

 

Hãy chứng minh:

 

1) Một năm bất kỳ có ít nhất một thứ sáu ngày 13 và nhiều nhất ba thứ sáu ngày 13.

 

2) Một năm có ba thứ sáu ngày 13 khi và chỉ khi ngày đầu năm là thứ năm (đối với năm không nhuận) hoặc chủ nhật (đối với năm nhuận).

 

3) Khoảng cách giữa hai ngày thứ sáu 13 gần nhất chỉ có thể là 27, 90, 181, 244, 272, 335 hoặc 426 ngày.

$ \bullet $ Mở rộng cách nhìn về hệ đối xứng kiểu II.

Trước hết, hãy xem xét cách giải hệ phương trình sau:

Ví dụ 23: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^2=1 & \\y^3+x^2=1 & \end{matrix}\right.$

Bài giải: Trừ theo vế 2 phương trình của hệ ta thu được:
\[{x^3} - {y^3} + {y^2} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{x^2} + xy + {y^2} - \left( {x + y} \right)} \right] = 0\]
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\ {x^2} + xy + {y^2} = x + y \end{array} \right.$$


Trường hợp: $x = y$ thì thế và giải phương trình:
$$x^3+x^2-1=0\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}\left [ \sqrt[3]{\frac{25}{2}-\frac{3\sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25}{2}+\frac{3\sqrt{69}}{2}}-1 \right ]$$
Cộng theo vế 2 phương trình và kết hợp với $x^2+xy+y^2=x+y$ ta được hệ đối xứng loại I:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=x+y & \\x^3+y^3+x^2+y^2=2 & \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-xy=(x+y) & \\(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)^2-2xy=2 & \end{matrix}\right.$$
Đặt $S=x+y$, $P=xy$, hệ trở thành:

\[\left\{ \begin{array}{l} {S^2} - P = S\\{S^3} - 3SP + {S^2} - 2P = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^3} + {S^2} - 2 - (3S + 2)({S^2} - S) = 0\\P = {S^2} - S\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l} (S - 1)({S^2} + 1) = 0\\ P = {S^2} - S \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1,y = 0\\ x = 0,y = 1 \end{array} \right.\]
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm như trên.



$ \bullet $ Qua bài giải trên, hẳn chúng ta nhận rõ vai trò của việc kết hợp “cộng” và “trừ” để đưa đến hpt đối xứng kiểu I (đây là một hướng nhìn mới). Việc làm này hoàn toàn có cơ sở. Hãy xem lại câu nói: “Cũng như loại I, loại II cũng có “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa 2 phương trình chứ không phải là đối xứng trong từng phương trình như kiểu I”. Như vậy, khi cộng theo vế sẽ luôn cho một trong hai phương trình đối xứng kiểu I. Và việc lấy đi nghiệm $(x-y)$ sau khi trừ cũng để lại cho ta 1 phương trình đối xứng nữa.

Ví dụ 24: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3+y=2 & \\y^3+x=2 & \end{matrix}\right.$

$ \bullet $ Và đôi lúc việc cộng trừ cũng không đem lại cho ta kết quả khả quan:

Ví dụ 25: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y & \\y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x & \end{matrix}\right.$

Nhận xét: Quả đúng, khi cộng hay trừ ta không thể làm gì với cái căn khủng khiếp kia. Tuy nhiên, một số điểm ta lại thấy rõ và đáng phải nghĩ là trong cái căn bậc 3 kia, có một đẳng thức: $(x-1)^2+8=x^2-2x+9$. Nhẩm nghiệm $x=y=1$ và $\sqrt[3]{8}=2$ (căn đẹp!). Phải liên kết và sử dụng chúng như thế nào?

Bài giải: Cộng theo vế 2 hệ của phương trình: $\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=x^2+y^2$.

Sử dụng đánh giá:
$$\sqrt[3]{x^2-2x+9}=\sqrt[3]{(x-1)^2+8}\geq 2\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}\leq \frac{2xy}{2}=xy$$
Tương tự ta có:
$$\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}\leq xy\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}\leq 2xy=x^2+y^2-(x-y)^2\leq x^2+y^2$$
Vậy hệ có nghiệm khi $x=y=1$, thử lại thấy đúng, kết luận nghiệm.

$ \bullet $ 2 kiểu hệ đối xứng I và II là những dạng rất cơ bản. Tuy nhiên, qua “chế biến” của người ra đề thì không thể nói trước được điều gì. Vì vậy, cần có cái nhìn tổng quan, nhìn nhiều khía cạnh, không nên chỉ biết nhìn hình thức rồi rập khuôn lời giải của dạng. Một số ví dụ thêm:

Ví dụ 26: (Thi thử ĐH CĐ THPT Lê Văn Hưu, Thanh Hóa năm 2011)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2+x-\frac{1}{y}=2 & \\y-y^2x-2y^2=-2 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 27: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3(2+3y)=1 & \\(y^3-2)x=3 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 28: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu 2009-2010)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3(2+3y)=8 & \\(y^3-2)x=6 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 29: (Thi ĐH - CĐ khối B 2003)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3y=\frac{y^2+2}{x^2} & \\3x=\frac{x^2+2}{y^2} & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 30: (Olympic 30-4-2010)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{y}=y^2+2y+1 & \\\sqrt{y^2+2y+22}-\sqrt{x}=x^2+2x+1 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 31: (Thi thử ĐH năm 2011, THTT số 379, 2009)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\y+\sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 32: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\y+\sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$

III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI

1. Phương pháp 01: Hằng số = $t$ = ẩn số:

Xem xét cách giải một số ví dụ sau:


Ví dụ 1: (Hệ phương trình TST Nghệ An 2009-2010)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=\frac{1}{5} & \\4x^2+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & \end{matrix}\right.$

Bài giải: Nhân phương trình sau của hệ với $2$ rồi cộng theo vế với phương trình đầu ta được:
$$9{x^2} + {y^2} + 6xy + 6x + 2y = \frac{{119}}{{25}} \Leftrightarrow {(3x + y + 1)^2} = \frac{{144}}{{25}} \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}3x + y + 1 = \frac{{12}}{5}\\3x + y + 1 = - \frac{{12}}{5}\end{array} \right.$$

Đến đây thì thế vào phương trình ban đầu ta giải phương trình bậc 2 nữa là xong.


Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+y=3 & \\x^2+2xy-5y^2-5x+13y=6 & \end{matrix}\right.$

Bài giải: Nhân 3 vào phương trình đầu rồi trừ theo vế với phương trình sau ta được:
$$2{x^2} + 8{y^2} - 8xy + 5x - 10y = 3 \Leftrightarrow 2{(x - 2y)^2} + 5(x - 2y) - 3 = 0 $$

$$\Leftrightarrow (x - 2y + 3)(2x - 4y - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2y = - 3\\2x - 4y = 1\end{array} \right.$$

Đến đây, thế từng trường hợp rồi thay vào phương trình ban đầu là xong.

$ \bullet $ Nhận xét: Hai bài giải trên thật hay, đơn giản với công việc nhân thêm rồi cộng lại, sau đó phân tích thành nhân tử.


Nhưng! Điều chúng ta băn khoăn và thắc mắc ở đây chính là việc biết phải nhân với con số nào. Đây chính là cơ sở để chúng ta đi đến phương pháp ẩn số $= t =$ hằng số.

$ \bullet $ Như chúng ta đã biết, cái chưa biết chính là ẩn số. Đây cũng vậy, để biết cần nhân với bao nhiêu, ta đưa thêm ẩn $t$ vào. Do đó, hpt của chúng ta đã có đến tận 3 ẩn với chỉ 2 giả thuyết. Như vậy, phải có thêm một cái gì đó ràng buộc. Nó là gì? Quan sát lại 2 ví dụ trên một lần nữa.

$ \bullet $ Phương pháp: Hằng số $= t =$ ẩn số:

- Phạm vi ứng dụng: hệ phương trình 2 ẩn $x$, $y$ có bậc không quá 2.

- Cơ sở phương pháp: giải phương trình bậc 2.


Xét phương trình: $ax^2+bx+c=0$. Có: $\Delta =b^2-4ac$.

Nếu: $\Delta

Nếu $\Delta >0$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Đặc biệt: $\Delta =0$ phương trình có 1 nghiệm duy nhất, tức là khi đó phương trình tương đương với: $$a(x+\frac{b}{2a})^2=0$$. Đây chính là cơ sở cơ bản của phương pháp
.
(Bài viết sẽ không trình bày giải hệ phương trình tổng quát mà sẽ thực hiện giải chi tiết những ví dụ cụ thể nhằm tạo cho bạn những tu duy, suy nghĩ mới và tự hình thành cho mình những phương pháp và kĩ năng. Hơn nữa việc trình bày tổng quát khá phức tạp)

Hãy xem xét lại 2 ví dụ trên:

Thay vì nhân vào những con số $2$ như Ví dụ 1, con số $3$ như Ví dụ 2 mà có vẻ dường như ta đã biết, ta sẽ nhân vào đó con số $t$.


Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=\frac{1}{5} & \\4x^2+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & \end{matrix}\right.$

Nhân $t$ vào phương trình đầu rồi cộng theo vế với phương trình sau ta có:
$$ty^2+y(3x+1)+(t+4)x^2+3x-\frac{5t+57}{25}=0$$
Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn $y$, xét:
\[{\Delta _y} = {(3x + 1)^2} - 4t\left[ {(t + 4){x^2} + 3x - \frac{{5t + 57}}{{25}}} \right]\]
\[ = (9 - 4{t^2} - 16t){x^2} + 6x(1 - 2t) + 1 + \frac{{4t(5t + 57)}}{{25}}\]
Để xuất hiện nhân tử như trên thì $\Delta _{y}=f^2(x)$ và như vậy thì:
$$(9-4t^2-16t)x^2+6x(1-2t)+1+\frac{4t(5t+57)}{25}=f^2(x)$$
$$\Leftrightarrow \Delta '_{x}=0\Leftrightarrow 9(1-2t)^2-4(9-16t-4t^2)\left [ 1+\frac{4t(5t+57)}{25} \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow (1-2t)\left [ 1-2t-4(9+2t)\left [ 1+\frac{4t(5t+57)}{25} \right ] \right ]=0$$
Dễ thấy $t=\frac{1}{2}$ là giá trị thỏa mãn.

$ \bullet $ Để có lời giải gọn và đẹp thì khi trình bày bài giải, chúng ta nhân thêm $2$ vào phương trình sau thay vì nhân $\frac{1}{2}$ vào phương trình đầu. Từ đó ta có lời giải gọn và đẹp như trên.


Xem lại ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+y=3 & \\x^2+2xy-5y^2-5x+13y=6 & \end{matrix}\right.$

Chúng ta cũng thực hiện công việc nhân $t$ như trên: Nhân $t$ vào phương trình đầu rồi cộng theo vế 2 phương trình ta được:
$$(t-5)y^2+y\left [ 2x(t-1)+t+13 \right ]+(t+1)x^2-5x-3(t+2)$$
$$\Delta _{y}=\left [ 2x(t-1)+t+13 \right ]^2-4(t-5)\left [ (t+1)x^2-5x-3(t+2) \right ]$$
$$=8(3+t)x^2-4x(t^2+7t+12)+9t^2+2t+249=f^2(x)$$
Khi xem xét phương trình này thì nhận thấy ngay $t=-3$ sẽ cho ta $f^2(x)=18^2$ vì để ý $t^2+7t+12=(t+3)(t+4)$. Từ đó ta có lời giải.

Một số ví dụ thêm:

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=xy+x+y & \\x^2-y^2=3 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+2y^2=3x-2 & \\2(x+y-1)=2xy & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 5: (THTT số 379, tháng 1 năm 2011)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y^2=(5x+4)(4-x) & \\y^2-5x^2-4xy+16xy-8y+16=0 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 6: (ĐH CĐ khối A, năm 2008)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\frac{5}{4} & \\x^4+y^2+xy(1+2x)=-\frac{5}{4} & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3 & \\x^2+y^2=xy+x+y & \end{matrix}\right.$

$ \bullet $ Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp (Xem ở phần tản mạn)

Cần linh hoạt trong việc chọn lựa nhân $t$ ở phương trình nào để thuận lợi trong việc phân tích.
……


$ \bullet $ Mở rộng phương pháp:

$ \bullet $ Cở sở suy luận: bạn có nghĩ, liệu có bắt buộc bậc của $x$ và $y$ trong hệ phải là bậc 2 cả. Đúng, để luôn giải được thì nhất thiết phải yêu cầu là cả 2 đều bậc 2. Tuy nhiên, cái hay của Toán chính là đa dạng, muôn màu muôn vẻ, bắt buộc chúng ta phải luôn tinh tế, sáng tạo hơn nữa trong phương pháp và suy nghĩ. Biết 1 chưa chắc đã giải được 10. Trước hết, hãy xem cái hệ sau.

Ví dụ 8: (Thi thử ĐH CĐ năm 2011)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 & \\x^2+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right.$

Bậc cao nhất của $x$ là 4, nhưng bậc của $y$ lại là 2. Hơn thế nữa, nếu quan sát tinh ý hơn:
$$\left\{\begin{matrix} x^4+2x^2(xy)+(xy)^2=2x+9 & \\x^2+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right.$$
(thì nên gom và xem $xy$ là ẩn)

Nhân thêm hằng số $t$ vào phương trình sau rồi cộng theo vế với phương trình đầu, ta được:
$$x^2y^2+2xy(t+x^2)+x^4+tx^2-2x(1+3t)-9-6t=0$$
$$\Delta '_{xy}=(t+x^2)^2-x^4-tx^2+2x(1+3t)+9+6t=tx^2+2x(1+3t)+(t+3)^2=f^2(x)$$
$$\Leftrightarrow \Delta '_{x}=(1+3t)^2-4t(t+3)^2=0$$
Dễ thấy ngay $t=1$ là một nghiệm của phương trình nên hệ số cần nhân chính là 1.

Việc trình bày lời giải còn lại xin dành cho bạn đọc.

$ \bullet $ Hệ này khá đặc biệt nhưng vì rút gọn ta thu được $\Delta _{xy}$ là một tam thức bậc 2. Qua đó cơ sở phương pháp của chúng ta vẫn áp dụng được. Nhưng. Ví dụ sau thì sao?

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 1+x^2y^2=19x^2 & \\xy^2+y=-6x^2 & \end{matrix}\right.$

$ \bullet $ Nhận xét: chú ý bậc cao nhất của $y$ như trên vẫn là bậc 2. Nhưng có vấn đề gì cần bàn ở đây?
Nháp: Nhân $t$ vào phương trình sau rồi cộng lại.

Còn tiếp ...

Mời bạn cùng thảo luận tại: http://diendantoanho...ệ-phương-trinh/

BBT không đăng lại phần 3 vì phần này tác giả trình bày quan điểm chính trị của cá nhân.
Hệ thống bầu cử 1 lần có chuyển phiếu (single transferable vote, viết tắt là STV) để bầu cử một ai hay một cái gì đó, khi mà có ít nhất 3 ứng cử viên, như sau:
* Mỗi lá phiếu ghi tên (hay đánh dấu) các ứng cử viên theo thứ tự lựa chọn của cử tri: dòng đầu tiên là người mà cử tri thích nhất, dòng thứ hai là người mà cử tri muốn bầu nếu người mà mình thích nhất không được bầu, và cứ thế.(Không nhất thiết phải ghi tên toàn bộ các ứng cử viên, nếu những người nào mà cử tri hoàn toàn không thích bầu thì không cần cho vào danh sách).

* Thuật toán bầu như sau:
- Đầu tiên đếm số phiếu của các ứng cử viên theo dòng thứ nhất (số cử tri đặt ứng cử viên lên hàng đầu). Nếu có ai đạt trên 50% số phiếu thì thắng, và việc bầu cử kết thúc. Nếu không ai đạt 50%, thì loại đi người đạt ít phiếu nhất trong lần đếm đầu tiên này, và chuyển sang lần đếm thứ hai.
- Ở lần đếm thứ hai, gạch tên ứng cử viên đã bị loại ra khỏi các lá phiếu. Ví dụ, nếu ứng cử viên bị loại đứng hàng đầu ở một lá phiếu nào đó, thì bây giờ ứng cử viên đứng hàng thứ 2 ở lá phiếu đó được chuyển lên thành hàng đầu , ứng cử viên đứng hàng thứ 3 được chuyển lên thành hàng 2, và cứ thế. Sau khi gạch tên ứng cử viên đã bị loại như vậy, thì lặp lại quá trình đếm: nếu có ứng cử viên nào đứng ở hàng đầu ở trên 50% số phiếu thì được bầu, còn nếu không thì loại đi ứng cử viên có số phiếu hàng đầu ít nhất, rồi tiếp tục như trên.



Hệ thống bầu cử 1 lần có chuyển phiếu trên, và các dạng tương tự của nó, xuất hiện từ thế kỷ 19, và ngày nay nó được dùng trong các cuộc bầu cử ở khá nhiều nơi trên thế giới, trong đó có Úc, Anh, Ấn Độ, Hồng Kông, v.v. Giải Oscar về điện anh cũng được bầu theo STV. Hệ thống STV còn được biết đến với các tên gọi khác như: Instant runoff voting, alternative vote.
Hệ thống STV có nhiều điểm ưu việt rõ rệt so với hệ thống “simple plurality” (không cần quá bán mà chỉ cần số phiếu nhiều hơn các ứng cử viên khác để được bầu ngay vòng đếm phiếu đầu tiên) hiện còn được dùng ở nhiều nơi, và hệ thống bầu cử 2 vòng ở Pháp. Hệ thống “simple plurality” quá là rởm rít trong trường hơp có nhiều ứng cử viên, không chấp làm gì. So với hệ thống bầu hai vòng ở Pháp, thì hệ thống STV có các ưu điểm sau:
* Cử tri chỉ cần đi bầu 1 vòng, thay vì 2 vòng. Tổ chức bầu 2 vòng tốn kém về thời gian (có khi mất thêm cả tháng) và tiền bạc (tính theo đơn vị trăm triệu USD) so với là chỉ 1 vòng.
* Trong trường hợp có nhiều ứng cử viên, thì việc chỉ chọn 2 người vào vòng 2 nhiều khi cũng éo le chẳng kém gì việc để người được nhất vòng 1 thắng ngay. Đây là điều đã xảy ra trong bầu cử tổng thống Pháp năm 2002. Nếu như Pháp dùng hệ thống STV đã không xảy ra sự éo le đó.
* Hệ thống STV khiến cho người ta bầu thật sự theo suy nghĩ của mình hơn là hệ thống 2 vòng. Ở Pháp, người ta phải kêu gọi “voter utile” vòng 1 (tức là không bầu cho người mình thực sự thích nhất, mà bầu cho người mình không thích lắm nhưng có nhiều khả năng trúng cử nhất trong số các ứng cử viên còn lại mà mình thấy tạm được) để tránh khỏi các tình huống éo le khi có nhiều ứng cử viên. Nhưng kiểu “voter utile” đó là một thứ phản dân chủ, khi các cử tri (hay các đảng phái) bỏ phiếu ngược lại ý nguyện thực sự của mình hòng thao túng kết quả bầu cử.
Hệ thống STV chưa phải là “hoàn hảo”. Nó không thỏa mãn một số tính chất quan trọng, trong đó có tính chất đơn điệu (monotonicity) sau: nếu 1 cử tri tăng thứ tự lựa chọn 1 ứng cử viên nào đó lên trong lá phiếu bầu của mình, thì điều đó không thể làm hại ứng cử viên đó, mà chỉ có thể hoặc không ảnh hưởng gì hoặc làm tốt lên cho ứng cử viên đó. Ví dụ đơn giản sau cho thấy, trong một số trường hợp nào đó dùng STV , có thể làm hại một ứng cử viên bằng cách nâng anh ta lên:
100 người bầu cho 3 ứng cử viên A,B,C, với kết quả các là phiếu như sau:

36 ABC

(tức là 36 người chọn A hàng đầu, sau đó đến chọn B, và xếp C là phương án tồi nhất)

34 BCA
30 CAB

Trong lần đếm phiếu đầu tiên thì C bị loại (chỉ có 30 phiếu, ít nhất). Lần đếm thứ hai thì A thắng (được 66 phiếu, trong khi B vẫn chỉ được 34 phiếu)
Nay giả sử có 5 người thay vì chọn BCA lại chọn thành ABC, tức là nâng A từ thứ ba lên thứ nhất trong các lá phiếu của họ, kết quả sẽ thành

41 ABC
29 BCA
30 CAB

Nếu có 5 người nâng A lên như vậy, thì B bị loại trong lần đếm đầu, và A thua trong lần đếm thứ 2, và C thắng chứ không phải A thắng !
Theo định lý Gibbard-Satterthwaite thì thực ra không có một hệ thống bầu cử dân chủ nào là có thể hoàn toàn tránh khỏi lũng đoạn, nên ví dụ trên có lẽ không đáng ngạc nhiên lắm. Tuy nhiên, có các công trình cho thấy, lũng đoạn bầu cử trong hệ thống STV là vấn đề “NP-hard”, tức là trên thực tế thì không đáng sợ lắm chuyện người ta không thật lòng khi bầu cử theo hệ thống STV, xem: http://www.cs.duke.e...09/stv_hard.pdf. Bởi vậy, hệ thống STV có thể coi là khá tốt để chống lại các trò “strategic voting”.
Trong trường hợp mà cuộc bầu cử có nhiều người chứ không chỉ 1 người được bầu (ví dụ như là bầu vào quốc hội), thì các thuật toán của các hệ thống bầu cử STV không những cho phép chuyển phiếu từ các ứng cử viên đã bị loại sang các ứng cử viên mà cử tri chọn lựa tiếp theo, mà nó còn có thể cho phép chuyển bớt phiếu từ các ứng cử viên đã được bầu mà thừa phiếu để được bầu sang các ứng cử viên “cùng phe” khác. Thuật toán chuyển phiếu thừa này cho phép hệ thống bầu cử STV gần đạt tính chất tỷ lệ thuận (proportional, tức là nếu đảng phái nào hay nhóm nào có tỷ lệ bao nhiêu % cử tri ủng hộ, thì cũng có tỷ lệ gần như vậy người được bầu) hơn hẳn so với hệ thống bầu cử quốc hội 2 vòng ở Pháp hiện tại.

BBT: Đây là bài viết của GS Nguyễn Duy Tiến gửi cho Diễn đàn toán học Tưởng niệm 10 năm ngày mất GS LAURENT SCHWARTZ (4/7/2002-4/7/2012)

NGƯỜI VIỆT NAM CHÚNG TÔI MÃI MÃI BIẾT ƠN ÔNG, GIÁO SƯ LAURENT SCHWARTZ
(Tưởng niệm 10 năm ngày mất GS LAURENT SCHWARTZ 4/7/2002-4/7/2012)

GS LAURENT SCHWARTZ (05/03/1915 - 04/07/2002)

Trong hồi ký của giáo sư Laurent Schwartz có câu “Les Vietnamiens ne m’ou- blient pas” (Người Việt Nam không quên tôi). Đúng thế, những người Việt Nam chúng tôi không bao giờ quên Ông, Giáo sư Laurent Schartz nhà toán học vĩ đại, người đã tới thăm và giảng bài Việt Nam 3 lần vào những năm tháng khó khăn nhất của dân tộc ta.

Lần thứ nhất vào cuối năm 1968 với tư cách là thành viên của Tòa án Betrand Russell "xử tội ác đế quốc Mỹ trong cuộc chiến tranh với Việt Nam". Ông được Thủ Tướng Phạm Văn Đồngtiếp 3 tiếng, và được nói chuyện với Hồ Chủ Tịch 1 tiếng (một trường hợp hiếm có). Vì thời gian có hạn, nên Ông chỉ có một buổi làm việc với giới toán học Việt Nam. Hôm đó Ông nêu một nhận xét trong phương trình đạo hàm riêng. Tôi nhớ là Ông nói "nhận xét đơn giản này mở ra cho một hưóng mới của toán học hiện đại". Tôi không hiểu gì.

Sau đó, Ông đã ủng hộ 10.000 quan cho Việt Nam khi bệnh viện Bạch Mai bị máy bay Mỹ ném bom.

Lần thứ hai vào mùa xuân 1976, Ông giảng (trong 3 tuần liền (1), giáo sư Phan Đức Chính dịch) về ánh xạ Radon hóa (Radonifying maps) và một ít về Hình Học các không gian Banach (Geometry of Banach Spaces). Tôi thực sự may mắn, vì

1) Sau khi bảo vệ tiến sĩ (26/04/1974), trước thời hạn 18 tháng, với luận án "Một số vấn đã về xác suất trong không gian Banach", tôi được tiêp tục ở lại Tbilisi làm việc với nhóm nghiên cứu của giáo sư N. N. Vakhania (thầy giáo hưng dẫn luận án tiến sĩ của tôi). Có thể nói, Tbilisi là trung tâm toán học nổi tiếng toàn thế giới về hàm phức và cơ học với những nhà toán học lừng danh như Mushkhelisvily, Vekua (thầy của giáo sư Ngô Văn Lực), Bissadze (thầy của giáo sư Nguyễn Thừa Hợp). Nhưng vào những năm 60, ở Tbilisi xác suất và thống kê thì còn yếu. Nhóm nghiên cứu của giáo sư Vakhania là nhóm mới nổi lên nhờ có quan hệ tốt với trường phái xác suất của Mockva, đc biệt là được sự hỗ trợ của Yu. V. Prokhorov, V.V Sazonov. Lúc tôi tới Tbilisi (5/10/1971), Vakhania mới bảo vệ tiến sĩ khoa học được 2 năm, và S. Chobanyan mới bảo vệ tiến sĩ được 1 năm (dưi sự hưng dẫn của Vakhania). Seminar của chúng tôi (gồm có Vakhania, Chobanyan, V. Tarieladze, Z. Gorgadze, V. Kvaratskhelia, tôi, và sau đã có thêm A. Weron từ Ba Lan sang thực tập) có tên rất hấp dẫn là "Giải tích hàm và lý thuyết xác suất" hoạt động rất tích cực. Có thể nói, tôi đã gặp may khi được làm việc theo nhóm như thế, đặc biệt là làm việc với Chobanyan và Tarieladze (cả hai sau này đều là những chuyên gia hàng đầu về xác suất trong không gian tuyến tính). Nhưng chúng tôi không ai biết tiếng Pháp, vì thế tôi quyết định học tiếng Pháp để đọc tài liệu, đặc biệt là những bài đăng trong Comptes Rendues của B. Maurey, G. Pisier, Fernique.

Tôi đang nghiên cứu về Hình học các không Banach và thu được một số kết quả theo hướng này, thì đất nước Việt Nam chiến thắng (30/04/1975) và thống nhất. Nửa năm sau (5/10/1975), tôi có mặt tại Hà Nội. Thế rồi, Dacuna Casten (giáo sư Toán học, người Pháp, chuyên ngành về xác suất và thống kê) sang Hà Nội giảng bài (giáo sư Nguyễn Hữu Anh dịch) và đã cập tới không gian lồi đều và trơn đều. Tôi rất hiểu bài giảng của ông và hỏi ông nhiều câu hỏi liên quan đến hình học Banach. Lần đầu tiên tôi được ông cho tôi biết kết quả của Pisier (tuyệt vời) về hình học Banach và ứng dụng vào lý thuyết Martingales Tháng 3/1976, giáo sư Laurent Schwartz đến Hà Nội, thì tôi đã có đã kiến thức nghe và hiễu các bài giảng của ông. Nội dung chính của các bài giảng này là trinh bày các kết quả của seminar Maurey-Schwartz. Ý tưởng của seminar này băt nguồn từ những kết quả của S. Kwapien: ứng dụng lý thuyết toán tử khả tổng tuyệt đại (absolutly summing operators) của Pietsch vào nghiên cứu xác suất. Cụ thể như sau: cho $X,Y$ là hai không gian Banach, và $\mu $ là độ đo xác suất trụ trong $X$ . Giả sử $T:X\rightarrow Y$ là toán tử tuyến tính, liên tục. Khi nào độ đo ảnh $T(\mu)$ là độ đo Radon trên $Y$ ?
Chẳng hạn, khi $X = Y = H$ là không gian Hilbert và $\mu =\gamma$ là độ đo trụ Gauss chuẩn tắc trên $H$, tức là, phiếm hàm đặc trưng có dạng:
$$\widehat{\gamma }=\exp\left (-\frac{\left \| h \right \|^2}{2} \right ),h\in H$$
thì định lý Muorier-Sazonov khẳng định rằng điều kiện cần và đủ để $T(\mu)$ là độ đo Radon là $T$ là tóan tử Hilbert-Schmidt hay tương đương $T$ là toán tử khả tổng tuyệt đại (tức là T biến một dãy khả tổng tuyệt đại yếu thành một dãy khả tổng tuyệt đại mạnh).

Tôi còn nhớ, dù trời nóng, nhưng Ông (lúc đã đã 61 tuổi) giảng bài rất say sưa, rất rõ ràng, khúc triết tại giảng đường C1 của đại học Bách Khoa Hà Nội có tới 100 người nghe. Sau này các bài giảng của Ông được giáo sư Nguyễn Đình Trí và giáo sư Phan Đức Chính ghi chép lại và được in thành sách (bằng tiếng Pháp): Radonifying maps. Thầy Nguyễn Bác Văn và tôi được trực tiếp làm việc với Ông nhiều buổi (lúc thì ở hội trường Bách Khoa, lúc thì ở số 9 Hai Bà Trưng, và cả nơi vợ chồng Ông Bà nghỉ tại khách sạn Metropol Hà Nội. Tôi không nói được tiếng Anh và tiếng Pháp, thành thử thầy Văn đã phiên dịch (rất chính xác) cho tôi. Trong khi tôi trình bày kết quả mới của tôi về Phiễm hàm tuyến tính đo được trong không gian Banach với độ đo Gauss, Ông hỏi tôi đến từng chi tiết nhỏ nhất. Mắt Ông sáng ngời và rất thích kết quả này và Ông nói như khuyên nhủ tôi: "Anh nên học tiếng Pháp rồi sang Pháp làm việc trong seminar của tôi. Anh sẽ được học bổng với số tiền khiêm tốn là 2.500 quan". Tôi còn đặt ra 16 vấn đã về độ đo trong không gian vector topo. Ông chăm chú nghe và cùng tôi thử giải quyết một số vấn đề. Ông làm việc say sưa quên cả giờ giấc, quên cả ăn tối. Lúc bấy giờ tôi hiểu ra rằng "toán học đầy ắp trong Ông", và khi có vấn đã thì từ bộ não của người được giải Fields (lúc 35 tuổi) các ý tưởng toán học tuôn chảy ra mãnh liệt và liên tục. Thỉnh thoảng ông lại hỏi "Anh có hiểu không?"

2) Tôi đã tìm được người hợp tác khoa học, đó là Đặng Hùng Thắng. Có thể nói rằng các bài giảng của giáo sư Laurent Schwartz là cầu nối tôi với sinh viên xuất sắc Đặng Hùng Thắng. Một hôm anh Thắng gặp tôi và trình bày với tôi một khái niệm mới: giá của độ đo xác suất trụ và đặt câu hỏi: giá trụ và giá của độ đo có khi nào trùng nhau không? Tôi thấy câu hỏi rất thú vị. Sau vài ngày suy nghĩ tôi đã tìm được câu trả lời, trong trường hợp giá là tập lồi thì giá trụ và giá của độ đo trùng nhau vì giá trụ là giá của độ đo trong topo yếu. Đặc biệt, điều này Đúng đối với đo đo Gauss, vì giá của độ đo Gauss đối xứng là không gian con. Sau đã tôi đã cho anh Thắng đọc chứng minh của tôi về kết quả này, anh nhận xét rằng chứng minh ấy mở rộng được cho trường hợp độ đo $p$-ổn định với $1<p\leq 2$. Từ đấy tôi và anh Thắng làm việc với nhau và thu được một số kết quả hay về độ đo ổn định.

Lần thứ ba vào đầu năm 1979, Ông giảng về Lý thuyết Martingales và tích phân ngẫu nhiên (giáo sư Nguyễn Đình Ngọc dịch). Lần này Ông trình bày các kết quả chính của Meyer. Lần đầu tiên tôi được biết khái niệm CADLAG từ các bài giảng của Ông và hiểu được tầm quan trọng của khái niệm này. Nhưng ấn tượng hơn cả là tài phiên dịch của giáo sư Nguyễn Đình Ngọc (có lẽ, theo tôi, giáo sư Ngọc là người giỏi nhất về tiếng Pháp và tiếng Việt). Cứ mỗi lần giáo sư Laurent Schwartz vừa giảng hết một ý, thì giáo sư Ngọc đã dịch ngay sang tiếng Việt rất chuẩn mực, tới mức, giáo sư Laurent Schwartz phải thốt lên "Tôi thực sự kinh ngạc về khả năng tiếng Pháp của anh. Tôi chưa bao giờ gặp một người vừa lau bảng vừa dịch rất trôi chảy các điều khóvề toán như ông Ngọc."

Tóm lại, giáo sư Laurent Schwartz có 3 hưóng nghiên cứu chính thì Ông đã giảng cả 3 cho người Việt Nam. Đó là:

1) Lý thuyết về phân phối (hàm suy rộng). Chính nhờ kết quả cơ bản này, Ông đã được giải thưởng Fields năm 1950. Cần chú, ý rằng Sobolev, nhà toán học vĩ đại người Nga, cũng là tác giả của lý thuyết hàm suy rộng, là tác giả của Đnh lý nhúng nổi tiếng trong các không gian Sobolev, được dùng thưòng xuyên trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.

2) ánh xạ Radon và Hình học các không gian Banach. Thực ra, Ông không phải là người khởi nguồn lý thuyết này, nhưng Ông có ảnh hưởng lớn tới sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết này cho tới tận ngày nay nhờ seminar do Ông và Maurey dẫn dắt từ 1969-1981. Đặc biệt, các khái niệm không gian loại $p$ , đối loại $q$; không gian $p$-trơn đều, $q$-lồi đều do Maurey đưa ra (1973) đã được chính Maurey và Pisier áp dụng rất thành công vào việc nghiên cứu 3 luật cơ bản của lý thuyết xác suất: Luật số Lớn, Định lý giới hạn trung tâm và luật loga lặp.

Cần lưu ý đã có tới 2 giải thưởng Fields trao cho các nhà toán học đạt được những kết quả xuất sắc trong lĩnh vực Hình học các không gian Banach. Đó là Jain Bourgain (1994, Bỉ) và Timothy Gowers (1998, Anh).

3) Tính toán ngẫu nhiên trên đa tạp.

Cuối cùng, một điều rất quan trọng là sở thích của giáo sư Laurent Schwartz: sưu tập tượng và bắt bướm. Bộ sưu tập về loài bướm nhiệt đới của Ông có tới hơn 25.000 loại (là một trong những bộ sưu tập cá nhân lớn nhất), và một số loại mang tên Ông. Khi đến thăm Việt Nam Ông cũng bắt được một số bướm quí hiếm.

Thầy tôi, giáo sư Vakhania (là đệ tử của Sobolev) hết sức kính trọng Sobolev, có lần nói với chúng tôi: "Lịch sử thường bị lãng quên, nhưng lịch sử không bao giờ quên những đóng góp của N. Sobolev". Tôi muốn mượn câu nói này đã viết: "Cho dù lịch sử có phức tạp như thế nào, thì chúng tôi luôn ghi nhớ công lao to lớn của Ông, giáo sư Laurent Schwatsz, đối với sự phát triển toán học Việt Nam".
Gíao sư Nguyễn Đình Trí (đại học Bách Khoa Hà Nội) là người có quan hệ mật thiết với giáo sư Laurent Schwartz từ lần đầu tiên Ông sang thăm Việt Nam và hai lần sau đã Ông đều giảng bài ở đại học Bách Khoa Hà Nội. Trong một thư (message) giáo sư Trí gửi cho tôi (ngày 20/06/2012) có đoạn cảm động sau:

"Toi doc bai ong viet ve GS L. Schwartz va rat hoan nghenh bai viet nay. Toi la nguoi tiep xuc voi GS Scwartz ngay tu lan Gs sang VN lan dau, sau do gap GS o ICM Moscow 1966 va cung co nhung hoat dong rat hay tai do voi nhung nha toan hoc co cam tinh coi VN, do GS Schwartz goi y va chu tri. Ong con sang lan cuoi cung do loi moi cua Bo truong Tran Hong Quan de tham van ve viec danh gia cac truong dai hoc VN, vi luc do o Phap moi thanh lap Comite National d'Evaluation ma GS Schwartz lam chu tich dau tien. Toi cung da viet ve nhung van de do ngay sau hki GS Schwartz mat. Toi thay anh viet nhu the la du. Toi cung con duoc ve tham mo GS Schwartz o lang Eden ma anh Khoai da viet. O day co mot mo chung cua GS cung voi con trai ong".

Gíao sư Đặng Hùng Thắng gửi 2 thư (message) cho tôi viết:
Trong thư thứ nhất (ngày 17/06/2012)
1) Lần thứ nhất đến VN mùa hè năm 1968: Lúc đó em đang là học sinh lớp 8 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội (tức lớp 10 bây giờ). Em đang ở chỗ sơ tán thì được Nhà trường cử về HN tham dự buổi nói chuyện của của L.Sha tại Giảng đường lớn ĐHTH (nay là hội trường Lê Văn Thiêm) với các học sinh giỏi Toán tiêu biểu của Thủ đô. Hôm đó có sự hiện diện của Thủ tướng Phạm Văn Đồng và Bộ trường Tạ Quang Bửu. Em còn nhớ GS đến bắt tay em và một số bạn học sinh và nói “Làm toán là một công việc rất thú vị

2) Lần thứ hai: Thời gian là từ 8/3/1976 đến 26/3 1976 tại Hội trường trường ĐHBK Hà Nội (không phải là tháng 8/1976 như trong bài) “Người VN không quên tôi, Việt nam ghi dấu ấn trong cuộc đời tôi”. Em (và anh) chính là một trong những người VN mãi mãi không quên ông. Bài giảng tuyệt diệu của GS đã thực sự ảnh hưng rất lớn với em, khi đã vừa tốt nghiệp ĐH, đã ghi dấu ấn,tạo bước ngoặt trong cuộc đì làm toán của em: Những bài giảng của ông về Xác suất Radon, xác suất trụ, thác triển độ đo trụ thành độ đo Radon, ,tính chất hình học (loại và đối loại) của không gian Banach, mối quan hệ giũa tính chất hình học của không gian Banach và tính chất xác suất, ánh xạ $p$-tổng hóa và ánh xạ Radon hóa, áp dụng vảo chuyển động Brown… đã cuốn hút em, làm em thực sự thú vị và làm nền tảng cho kiến thức của em về Xác suất, Độ đo, tích phân, Giải tích hàm mãi cho đến bây giờ.

3) Lần thứ ba : Cuối năm 1979 (không phaỉ là tháng 8/1976 như trong bài) Em và anh đã cho ông đọc bài báo trình bày những kết quả mới của mình về thác triển độ đo trụ $p$- ổn định thành xác suất Radon. Từ Pháp GS đã đc gửi thư trả lời (qua địa chỉ Bộ trưởng Nguyễn Đình Tứ ) nêu ra những góp ý comment của ông. Không những vậy ông còn nhờ G.Pisier đc và gửi kèm theo các góp ý và comment của G.Pisier về các kết quả này.

Trong thư thứ hai (ngày 23/06/2012)

Anh Tiến thân kính
Em tìm lại các vở ghi chép cũ thì xác định được chính xác thời điểm đến VN giảng bài lần thứ ba: Từ ngày 11/5/1979 đn ngày 15/5/1979 Nội dung về Lý thuyết Martingale , tích phân ngẫu nhiên và ứng dụng trong giải tích, PT đạo hàm riêng bài toán biên... Lần này GS trình bày tổng quan, không phải bài giảng chi tiết như lần thứ hai (từ 8/3/1976 đn 26/3/1976).

Em cũng muốn bổ sung thêm về các giai đoạn nghiên cứu của GS: Giai đoạn thứ nhất (1944-1954): Lý thuyết phân bố, hàm suy rộng. Giai đoạn thứ hai (từ 1954-1966): Giải tích và Phương trình đạo hàm riêng (PDE). Giai đoạn thứ ba ( từ 1967-1988): Lý thuyết xác suất và hình học không gian Banach.

Ngoài ra GS còn nhiều công trình về lịch sử Toán học và giảng dạy Toán học. Cuốn hồi ký khá dày của GS, em đã được đc bản dich ra tiếng Anh ở một thư viện nước ngoài, có nhiều đoạn cảm động GS viết về VN, thể hiện tình cảm yêu mến của ông đối với đất nước và con người VN. Ước gì cuốn hồi ký này được dịch toàn bộ hoặc một phần ra tiếng Việt thì đây là một việc làm rất có ý nghĩa tưởng nhớ tới GS

Hà Nội, hè 2012.

Như vậy, giáo sư Laurent Schwartz có 16 "học trò" và 2278 "môn đệ".

(GS Nguyễn Duy Tiến)