moonlight0610

bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left ( a^{2}+1 \right ).\left ( b^{2}+1 \right ).\left ( c^{2}+1 \right )\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}$
bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c, ta có
$2.\left ( 1+abc \right )+\sqrt{2.\left ( 1+a^{2} \right ).\left ( 1+b^{2} \right ).\left ( 1+c^{2} \right )}\geq \left ( 1+a \right ).\left ( 1+b \right ).\left ( 1+c \right )$
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}+\frac{b^{3}c}{1+bc^{2}}+\frac{c^{3}a}{1+ca^{2}}\geq \frac{abc\left ( a+b+c \right )}{1+abc}$
bài 4: Cho a,b,c,d,e > 0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=5$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{c+d+e}+\frac{c^{2}}{d+e+a}+\frac{d^{2}}{e+a+b}+\frac{e^{2}}{a+b+c}\geq \frac{5}{3}$
Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 3$
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$
Mình mới học Bất đẳng thức, mong các bạn chỉ bảo cho ạ

Bài 175: (bình thường)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c thực ta có
$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2$
Bài 176: Cho a,b,c,d là các số không âm có tổng là 1. Tìm GTNN của biểu thức
$A=\frac{(a+b+c)(a+b)}{abcd}$

Nãy giờ bận đi coi VMF NEXT TOP MODEL nên không post bài được

Bài 175:
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta đc:
$(a+b+c)^{2}\leq (a^{2}+2).[1+\frac{(b+c)^{2}}{2}]$ (1)
Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi: $a=\frac{2}{b+c}$
Vậy ta chỉ cần c/m: $(b^{2}+2).(c^{2}+2)\geq 3.[1+\frac{(b+c)^{2}}{2}]$
Khai triển ta đc: $\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+ b^{2}c^{2}-3bc+1\geq 0$
$\Leftrightarrow bc+ b^{2}c^{2}-3bc+1=(bc-1)^{2}\geq 0$ (Đúng) (2)
Đẳng thức (2) xảy ra khi và chỉ khi b=c và b.c=1
Từ (1) và (2) Đẳng thức xảy ra ở BĐT ban đầu khi và chỉ khi a=b=c=1

Cách khác, bài 2: Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}=\frac{a}{(a^{2}+1)+2b+2}\leq \frac{a}{2a+2b+2}.$.
Từ đó ta chỉ cần chứng minh đc:
$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$
Do $\frac{a}{a+b+1}=1-\frac{b+1}{a+b+1}$
BĐT trở thành: $\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
VT$\geq \frac{[(b+1)+(c+1)+(a+1)]^{2}}{\sum (b+1)(a+b+1)}=\frac{(a+b+c+3)^{2}}{3(a+b+c)+(ab+bc+ca)+6}$ (1)
Mà: $3\sum a+\sum ab+6=3\sum a+\frac{(\sum a)^{2}-3}{2}+6=\frac{(\sum a+3)^{2}}{2}.$
Thế vào (1) ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài 1: Cho a,b,c $\geq 0$ , ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$
Mình muốn chứng minh bất đẳng thức này dưới dạng BĐT Cauchy-Schwarz, các bạn giúp mình với!
Bài 2: Cho a, b, c $\geq 0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}$=3
Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$