Math,math n math

Bài toán 1. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Lời giải:
Đặt $ A= \large \dfrac{a^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
$B= \large \dfrac{b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{a^7}{c^6+a^6}\ge \dfrac{a+b+c}{2}$
Ta nhận thấy nếu trong B ta đặt b=a,c=b,a=c thì ta được A.
Do đó việc CM $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$ là tương đương với việc CM $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Việc CM 1 trong 2 điều trên là vô cùng khó khăn.Như ta đã thấy hầu hết các phương pháp đều chịu bó tay còn dùng "chia để trị" thì lại vô cùng dài dòng và mệt mỏi.Nhưng nếu ta cộng 2 BDT lại tức là CM điều sau: A+B a+b+c lại vô cùng dễ dàng như sẽ thấy sau đây:
Ta có: $A+B= \large \dfrac{a^7+b^7}{a^6+b^6}+\dfrac{b^7+c^7}{b^6+c^6}+\dfrac{c^7+a^7}{c^6+a^6} \geq \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{b+c}{2} + \dfrac{c+a}{2} =a+b+c$
Suy ra ta có 1 trong 2 điều sau:
Hoặc $A \geq \dfrac{a+b+c}{2}$.
Hoặc $B \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Và như lí luận trên đầu thì ta đã có điều cần CM.

Vừa nhìn có vẻ kì kì nhưng xem kĩ thì hoàn toàn hợp logic ấy chứ
Em xin trình bày lại lời giải và hy vọng nó sẽ rõ ràng hơn

Đặt $ A= \large \dfrac{x^7}{x^6+y^6}+\dfrac{y^7}{y^6+z^6}+\dfrac{z^7}{z^6+x^6}\ge \dfrac{x+y+z}{2}$
$B= \large \dfrac{y^7}{x^6+y^6}+\dfrac{z^7}{y^6+z^6}+\dfrac{x^7}{z^6+x^6}\ge \dfrac{x+y+z}{2}$

$A+B= \large \dfrac{x^7+y^7}{x^6+y^6}+\dfrac{y^7+z^7}{y^6+z^6}+\dfrac{z^7+x^7}{z^6+x^6} \geq \dfrac{x+y}{2} + \dfrac{y+z}{2} + \dfrac{z+x}{2} =x+y+z$
Suy ra ta có 1 trong 2 điều sau:
Hoặc $A \geq \dfrac{x+y+z}{2}$ (1)
Hoặc $B \geq \dfrac{x+y+z}{2}$ (2)

Vì (1)V(2) đúng nên giờ chỉ phụ thuộc vào cách mà ta đặt ẩn
_với (1) đúng thì bđt đã cho đúng với x=a,y=b,z=c hoặc x=b,y=c,z=a hoặc x=c, y=a,z=b
_với (2) đúng thì bđt đã cho đúng với x=a,y=c,z=b hoặc x=b,y=a,z=c hoặc x=c, y=b,z=a
Với việc trình bày lại lời giải em hy vọng làm cho bài toán tường minh hơn

Ý tưởng này em cũng đã nghĩ đến khi đọc bài BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC của CDN nhưng hoàn toàn không có 1 nghiên cứu chính thức gì cho nó nên khi thấy anh Bùi Việt Anh gợi nên thì em rất thích và hoản toàn ủng hộ cho pp này, hy vọng nó đúng

Hi , hiền đúng rùi đấy , thực tế 2007 chỉ có tích hình thức (cho trùng với năm học sau)
Nhưng phải là 1007 mới phải , nếu m , n mà bạn xét đều bé hơn 1003 thì chít
mà mấy bài kia các bạn là sao zậy, thực tế khi trình bày mình thấy có rất nhiều vấn đề để nói
một ví dụ là có vài bạn thi chung mình CM bài 5 bằng cách đi ngược từ AE,AF là tiếp tuyến rùi mới CM ngũ giác nội tiếp (chả hiểu sao mà họ cứ đinh ninh là mình đúng nữa )
Cái này rõ ràng là thua rùi (chắc tại nhiều sách CM kiểu này , nhưng chỉ có 1 câu thui)

Cho ba phương trình

\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \\ x^2-bx+c^3=0  \\ x^4-bx^2+c^3=0\end{eqnarray}

Tìm $a,b,c$ để:
a) Từng phương trình trên có nghiệm
b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$