Yeutoan1998

bạn có thể cho mình hỏi tại sao lại có cách đặt như vậy không? theo tư tưởng học sinh hay đặt căn là $y$ nhưng ở đây lại đặt $y+1$ để có kết quả rất đẹp

Theo mình do phương trình được viết lại : 

$\sqrt[3]{2x+1}=(x+1)^{3}-x$

a, ở phương trình thứ nhất của hệ ta biến đổi $\Leftrightarrow x^{2}+x(y-3) - 2y^{2}+3y=0$

coi đây là phương trình bậc hai ẩn x, ta có : $\Delta =(3y-3)^{2}$

từ đó ta suy ra : $x=y ; x=-2y+3$

thế vào phương trình thứ hai của hệ là ok.

$m^{2} + 5mx - x^{4} +3x^{3} + 2x^{2} +3x + 1 =0$ (1)

Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn m , ta có :

$ \Delta= 25x^{2}+4x^{4}-12x^{3}-8x^{2}-12x+4 = (2x^{2}-3x+2)^{2}$

Phương trình có 2 nghiệm : $m_{1}=x^{2} - 4 x -1 ; m_{2}=-x^{2} - x -1$ 

Ta có: $\Delta_m=4x^4-12x^3+17x^2-12x+4=(2x^2-3x+2)^2$
Các nghiệm của $(1)$ là $m_1=x^2-4x+1; m_2=-x^2-x-1$
Do vậy pt 2 tương đương $m=x^{2}-4x+1 hoặc m=-x^{2}-x-1$

$\Delta'_1=4-1+m=m+3; \Delta_2=1-4-4m=-4m-3$
các nghiệm nếu có của phương trình $(3)$ là : $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Các nghiệm nếu có của phương trình $(4)$ là : $x_{1.2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Để ý (*):$ (x^2-4x+1-m)+(x^2+x+1+m)=2x^2-3x+2=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}>0, \forall x$ suy ra các phương trình$(3)$ và $(4)$ không có nghiệm chung
* Nếu $m<-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ vô nghiệm
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có nghiệm kép $x_1=x_2=2$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_3=1, x_4=-2$
Suy ra phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt
     $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1= \frac{1}{2}; x_2=\frac{7}{2}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có một nghiệm kép $x_2=x_4=-\frac{1}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}= 2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ vô nghiệm
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Tóm lại:
* Nếu $m<-3$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$: Phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt
       $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm\sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$

Mình sửa lại rồi , cho mình xin lỗi .

phương pháp lượng liên hợp như vậy chưa thuyết phục , ai có lời giải khác không?