chinhtam0701

Bài 1. Có bao nhiêu cách chọn 3 số khác nhau từ tập $\left \{ 1, 2, 3, ..., 600 \right \}$ sao cho tổng của chúng chia hết cho 3?

Bài 2. Có bao nhiêu cách treo thành dãy n đôi tất sao cho các chiếc tất cạnh nhau thuộc các dôi khác nhau nếu các chiếc tât trong một cặp không phân biệt được với nhau và các đôi tất khác nhau từng đôi một?

Bài 3. Có bao nhiêu cách lấy 8 bức thư ra khỏi phong bì của chúng rồi sắp xếp lại một cách ngẫu nhiên vào các phong bì đó sao cho:

(i) không một lá thư nào xếp vào đúng phong bì của mình?

(ii) có ít nhất một lá thư nào xếp vào đúng phong bì của mình?

(iii) có ít nhất hai lá thư nào xếp vào đúng phong bì của mình?

Bài 4. Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1.000.000 mà tổng các chữ số của nó bằng 19?

1. Đặt $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$ thì ta có x, y, z >0 và xyz=1. Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
$\left ( 1+\frac{2x}{y} \right )\left ( 1+\frac{2y}{z} \right )\left ( 1+\frac{2z}{x} \right )\geq \left ( 2+x \right )\left ( 2+y \right )\left ( 2+z \right ) \Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}+2\sum \frac{y}{x}\geq 2\sum x+\sum xy$
Đến đây ta sử dụng AM-GM để chứng minh $\sum \frac{x}{y}\geq \sum x$ và $\sum \frac{y}{x}\geq \sum xy$. Thật vậy ta có
$2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}}=3x$, $2\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3y$, $2\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\geq 3z$ $\Rightarrow \sum \frac{x}{y}\geq \sum x$. Bằng cách thay $\left ( x, y, z \right )$ bởi $\left ( \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right )$ ta có $\sum \frac{y}{x}\geq \sum xy$. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c>0$
2. Sử dụng AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy) là ra.

Tôi xin làm như sau: Đặt $t=-x$. Khi đó $x=1 \Rightarrow t=-1, x=-1 \Rightarrow t=1, dt=-dx.$
$I=\int_{-1}^{1}\frac{ln\left ( x^{2} +1\right )}{e^{x}+1}dx=\int_{-1}^{1}\frac{ln\left ( t^{2} +1\right )}{e^{-t}+1}dt=\int_{-1}^{1}\frac{e^{t}.ln\left ( t^{2} +1\right )}{e^{t}+1}dt =\int_{-1}^{1}\frac{e^{x}.ln\left ( x^{2} +1\right )}{e^{x}+1}dt$.
$\Rightarrow 2I=\int_{-1}^{1}ln\left ( x^{2}+1 \right )dx$.
Đặt $\left\{\begin{matrix} u=ln\left ( x^{2}+1 \right )\\dv=dx \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2x}{x^{2}+1}\\v=x \end{matrix}\right.$...
Kết quả $I=\frac{\pi}{2}-2+ln2$

Tim miền hội tụ của $S(x)$ và xét tính liên tục của $S(x)$ trên miền đó: $S(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{{{\left(n-x\right)}^{2}}}}$

Mình xin chém câu phương trình nghiệm nguyên:
$(x+1)(y+z)=xyz+2$
$<=>xyz+2-xy-xz-y-z=0$
$<=>x(yz-y-z)+2-y-z=0$
$<=>x(z-1)(y-1)-x-y-z+2=0$
$x(y-1)(z-1)=x+y-1+z-1$
Đền đây, do x,y,z nguyên dương nên $x \geq 1>0,y-1\geq 0,z-1\geq 0$
xét y=1 hoặc z=1, phương trình vô nghiệm
xét y>1,z>1, đặt y-1=a,z-1=b( $a,b > 0$)
Phương trình trở thành : $xab=x+a+b$
đến đây bài toán trở thành bài toán giải phương trình nghiệm nguyên dương đơn giản, chắc các bạn giải được
P/s: cách này dài quá , không biết có ai có cách hay hơn để mình tham khảo

Bạn làm theo cách này là ngắn nhất. Vì vai trò của y và z như nhau nên ta luôn giả sử $y\leq z$....

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^{5}+5n^{3}-6n$ chia hết cho 30.

2. Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n\left ( n+1 \right )+6$ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng $2n^{2}+n+8$ không phải là số chính phương.

Câu 2. (2 điểm)

1. Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} x-2y-\frac{2}{x}+1=0\\x^{2}-4xy+4y^{2}-\frac{4}{x^{2}}+1=0\\ \end{matrix}\right.$

2. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2xy-yz-zx$.

Câu 3. (3 điểm)

Cho đường tròn $\left ( O, R \right )$ và dây cung $BC$ cố định $\left (BC<2R \right )$. Một điểm $A$ di động trên đường tròn $\left ( O, R \right )$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $AD$ là đường cao và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài $\angle BHC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng tam giác $AMN$ cân.

2. Gọi $E, F$ là hình chiếu của $D$ lên $BH, CH$. Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $EF$.

3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ cắt đường phân giác trong $\angle BAC$ tại $K$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4. (1 điểm)

Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $(x+1)(y+z)=xyz+2$

Câu 5. (1 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R=2cm$. Chứng minh rằng trong số 17 điểm $A_{1}, A_{2},..., A_{17}$ bất kì nằm trong tứ giác $ABCD$ luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)