Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


minhtuyb

Đăng ký: 19-01-2012
Offline Đăng nhập: 06-05-2015 - 15:29
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Bất đẳng thức chuẩn bị cho kì thi THPTQG 2015-2016

04-05-2015 - 16:33

Dạo này thấy topic hơi chìm,góp thêm 1 bài!

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $(x+y)^2+4x^2y^2+1=(2z^2+1)^2$.Tìm GTNN của:

$P=\frac{16x^3}{(y+z)^3}+\frac{16y^3}{(x+z)^3}+3.\frac{xy+1}{z^2+1}$

Từ giả thiết ta có:

$$+) (2z^2+1)^2=(x+y)^2+\frac{(4xy)^2}{4}+1\leq (x+y)^2+\frac{(x+y)^4}{4}+1=\left [ \frac{(x+y)^2}{2}+1 \right ]^2\\ \Rightarrow 2z\leq x+y$$

$$+) (2z^2+1)^2=(2xy+1)^2+(x-y)^2\geq (2xy+1)^2\Rightarrow z^2\geq xy$$

 

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{a+c}{b+c}\geq \frac{a}{b}$ với $b>a>0, c\geq 0$, dấu bằng khi $c=0$ với $a=xy,b=z^2,c=1$, ta có: $\frac{xy+1}{z^2+1}\geq \frac{xy}{z^2}$    (*)

 

Áp dụng BĐT Cô si 3 cho số không âm, ta dễ có:

$$\frac{16x^3}{(y+z)^3}\geq \frac{12x}{y+z}-4$$

$$\frac{16y^3}{(x+z)^3}\geq \frac{12y}{x+z}-4$$

 

Từ ba bđt trên suy ra:

$$P\geq 12\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}   \right )+3.\frac{xy}{z^2}-8$$

 

Ta có:

$$(z+x)(z+y)=z^2+xy+yz+zx\leq 2z^2+yz+zx=z(2z+x+y)\leq z(x+y+x+y)=2z(x+y)$$

Nên:

$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z} =\frac{x^2+y^2+z(x+y)}{(z+x)(z+y)}\leq \frac{x^2+y^2+z(x+y)}{2z(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{2z(x+y)}+\frac{1}{2}$$

 

Suy ra:

$$P\geq 6\frac{x^2+y^2}{z(x+y)}+3.\frac{xy}{z^2}-2
\\=3\left[  2\frac{x^2+y^2}{z(x+y)}+\frac{xy}{z^2} \right ]-2
\\=3.\frac{2z(x^2+y^2)+xy(x+y)}{z^2(x+y)}-2
\\\geq 3.\frac{2z(x^2+y^2)+xy.2z}{z^2(x+y)}-2
\\=6.\frac{x^2+y^2+xy}{z(x+y)}-2
\\\geq 6.\frac{\frac{3}{4}(x+y)^2}{z(x+y)}-2
\\=\frac{9}{2}\frac{x+y}{z}-2
\\\geq \frac{9}{2}.2-2=7$$

 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là $7$

 

*Nhận xét: Hai khó khăn lớn nhất ở lời giải này là việc xử lý phân thức thứ 3 ( như ở (*) )  và việc làm gọn mẫu số $(z+x)(z+y)$ để xuất hiện hạng tử $z$, từ đó giảm độ phức tạp của bài toán.


Trong chủ đề: Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

16-10-2013 - 18:16



Biến ở VT xác định trên $\mathbb{R}$ biến ở VP có tập giá trị trên $[0;+\infty)$. Lời giải trên chưa chặt chẽ. Phải giải thêm một trường hợp nữa mới được.

 

Dạng bài này xuất hiện khá nhiều. Thế $x=\frac{2014}{y}$ là được.

Mình không hiểu ý bạn lắm, $f$ ở đây lấy giá trị đối số trên $(0;+\infty)$ mà? Tất nhiên là ở đẳng thức bạn trích dẫn mình đều đang lấy $x,y>0$.


Trong chủ đề: Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

08-10-2013 - 19:35

Câu 5 (3 điểm)
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{y} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right )\ \ (1),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$

Bài này thế đơn thuần thôi :). Mà cái điều kiện đầu tiên hơn yếu thì phải?
---
Giả sử tồn tại hàm số thoả mãn điều kiện bài toán:

- Ở $(1)$ cho $x=2014;y=1\rightarrow f(2014)=\dfrac{1}{2}$
- Ở $(1)$ cho $y=1\rightarrow f(x)=\dfrac{1}{2}f(x)+\dfrac{1}{2}f\left ( \frac{2014}{x} \right )\Leftrightarrow f(x)=f\left ( \frac{2014}{x} \right )\ \ (2)$
- Ở $(1)$ cho $x=y\rightarrow f(x^2)=2f(x)f\left( \frac{2014}{x} \right )=2f(x)^2\ \ (3)$
 
- Kết hợp $(1),(2)$ và $(3)$ ta có:
$$f(xy)=f(x)^2+f(y)^2\ \ (4)$$
và $$f(xy)=\dfrac{f(x^2)+f(y^2)}{2}\ \ (5)$$
Từ đây suy ra:
$$f(xy)=^{(4)}f(x)^2+f(y)^2=^{(3)}2f(\sqrt{xy})^2=^{(5)}2\left (\dfrac{f(x)+f(y)}{2} \right)^2\\ \Leftrightarrow (f(x)-f(y))^2=0\Leftrightarrow f(x)=f(y) \forall x,y>0\\ \Leftrightarrow f\equiv C$$
Mà $f(1)=\dfrac{1}{2}\rightarrow $$C=\dfrac{1/2}$. Thử lại thấy $f\equiv \dfrac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện bài toán.
 
Vậy $f(x)=\dfrac{1}{2}$ là hàm số cần tìm. $\square$

Trong chủ đề: Topic về số học, các bài toán về số học.

10-08-2013 - 17:47

Bài 41 (IMO Shortlist 2012): Cho $x,y$ là các số nguyên dương dương thỏa mãn $x^{2^n}-1$ chia hết cho $2^ny+1$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $x=1$.


Trong chủ đề: Chứng minh $p| b^2-4ac$

09-08-2013 - 22:58

Mình có $1$ thắc mắc 

Do $p$ nguyên tố do đó 

Nếu $p$ chia hết $b^2-4ac$ thì $p=b^2-4ac$ à

"Chia hết" khác "chia hết cho". $p$ chia hết $b^2-4ac\ \Leftrightarrow p|b^2-4ac$