$\sum \frac{x}{1+x^2}\leq \sum \frac{x}{2x}=\sum \frac{1}{2}=\frac{3}{2}(1)$Bài 261: Cho x,y,z $ \ge 0;x + y + z \le 3$
CMR: $$\frac{x}{{1 + x^2 }} + \frac{y}{{1 + y^2 }} + \frac{z}{{1 + z^2 }} \le \frac{3}{2} \le \frac{1}{{1 + x}} + \frac{1}{{1 + y}} + \frac{1}{{1 + z}}$$
$\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{9}{1+x+1+y+1+y}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}(2)$
-Từ (1) và (2) có ĐPCM
$\sum \frac{a}{a^2-bc+1}=\sum \frac{a^2}{a^3-abc+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc+a+b+c}$Bài 267: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $3(ab+bc+ac)=1$
CMR: $$\frac{a}{{a^2 - bc + 1}} + \frac{b}{{b^2 - ac + 1}} + \frac{c}{{c^2 - ba + 1}} \ge \frac{1}{{a + b + c}}$$
$=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+a+b+c}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+1}$
$=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+3(ab+bc+ca)}=\frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}<Q.E.D>$
$\sum \frac{a^3 }{b(2c + a)}=\sum \frac{a^3}{ab+2bc}$Bài 262: Cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=3
CMR: $$A = \frac{{a^3 }}{{b(2c + a)}} + \frac{{b^3 }}{{c(2a + b)}} + \frac{{c^3 }}{{a(2b + c)}} \ge 1$$
Có: $\frac{a^3}{ab+2bc}+\frac{ab+2bc}{9}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{ab+2bc}.\frac{ab+2bc}{9}.\frac{1}{3}}=a$
$\Rightarrow \sum\frac{a^3}{ab+2bc}+\sum\frac{ab+2bc}{9}+\sum\frac{1}{3}\geq \sum a\Rightarrow \sum\frac{a^3}{ab+2bc}+\frac{ab+bc+ca}{3}+1\geq 3$
$\Rightarrow \sum\frac{a^3}{ab+2bc}\geq 2-\frac{ab+bc+ca}{3}\geq 2-\frac{(a+b+c)^2}{3.3}=1<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=c=1$
- perfectstrong, Ispectorgadget, le_hoang1995 và 2 người khác yêu thích