Đến nội dung

minhtuyb

minhtuyb

Đăng ký: 19-01-2012
Offline Đăng nhập: 06-05-2015 - 15:29
****-

#298709 Topic bất đẳng thức THCS (2)

Gửi bởi minhtuyb trong 09-02-2012 - 12:30

Bài 261: Cho x,y,z $ \ge 0;x + y + z \le 3$
CMR: $$\frac{x}{{1 + x^2 }} + \frac{y}{{1 + y^2 }} + \frac{z}{{1 + z^2 }} \le \frac{3}{2} \le \frac{1}{{1 + x}} + \frac{1}{{1 + y}} + \frac{1}{{1 + z}}$$


$\sum \frac{x}{1+x^2}\leq \sum \frac{x}{2x}=\sum \frac{1}{2}=\frac{3}{2}(1)$
$\sum \frac{1}{1+x}\geq \frac{9}{1+x+1+y+1+y}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}(2)$
-Từ (1) và (2) có ĐPCM

Bài 267: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $3(ab+bc+ac)=1$
CMR: $$\frac{a}{{a^2 - bc + 1}} + \frac{b}{{b^2 - ac + 1}} + \frac{c}{{c^2 - ba + 1}} \ge \frac{1}{{a + b + c}}$$

$\sum \frac{a}{a^2-bc+1}=\sum \frac{a^2}{a^3-abc+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc+a+b+c}$
$=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+a+b+c}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+1}$
$=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+3(ab+bc+ca)}=\frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}<Q.E.D>$

Bài 262: Cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=3
CMR: $$A = \frac{{a^3 }}{{b(2c + a)}} + \frac{{b^3 }}{{c(2a + b)}} + \frac{{c^3 }}{{a(2b + c)}} \ge 1$$

$\sum \frac{a^3 }{b(2c + a)}=\sum \frac{a^3}{ab+2bc}$
Có: $\frac{a^3}{ab+2bc}+\frac{ab+2bc}{9}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{ab+2bc}.\frac{ab+2bc}{9}.\frac{1}{3}}=a$
$\Rightarrow \sum\frac{a^3}{ab+2bc}+\sum\frac{ab+2bc}{9}+\sum\frac{1}{3}\geq \sum a\Rightarrow \sum\frac{a^3}{ab+2bc}+\frac{ab+bc+ca}{3}+1\geq 3$
$\Rightarrow \sum\frac{a^3}{ab+2bc}\geq 2-\frac{ab+bc+ca}{3}\geq 2-\frac{(a+b+c)^2}{3.3}=1<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=c=1$


#298641 $5\sqrt{1+x^{3}}=2x^{2}+4$

Gửi bởi minhtuyb trong 08-02-2012 - 20:20

B1: $5\sqrt{1+x^{3}}=2x^{2}+4$

ĐK:$x\geq -1$
$5\sqrt{1+x^{3}}=2x^{2}+4\Leftrightarrow 5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2(x^2+2)(1)$
Đặt $a=\sqrt{x+1};b=\sqrt{x^2-x+1}(a;b\geq 0)\Rightarrow a^2+b^2=x+1+x^2-x+1=x^2+2$. Suy ra:
$(1)\Leftrightarrow 5ab=2(a^2+b^2)\Leftrightarrow 2a^2-5ab+b^2=0\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0\Leftrightarrow ...$


#298570 $4-m=\frac{2}{x+1}$

Gửi bởi minhtuyb trong 08-02-2012 - 13:06

ĐXKĐ: $x\neq -1$
$4-m=\frac{2}{x+1}\Leftrightarrow (4-m)(x+1)=2\Leftrightarrow (4-m)x+4-m=2\Leftrightarrow (4-m)x=m-2$ -Với $m=4$ pt vô nghiệm -Với $m\neq 4$ thì $x=\frac{m-2}{4-m}<0$ Lập bảng xét dấu đc $m>4$ hoặc $m<2$.


#298080 Topic bất đẳng thức THCS (2)

Gửi bởi minhtuyb trong 04-02-2012 - 21:58

Bài 245: Cho các đa thức
$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, $Q(x)=x^2+x+2005$
Biết phương trình $P(x)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt còn phương trình P(Q(x))=0 vô nghiệm. CMR
$P(2005)>\frac{1}{64}$
Chuyên Thái Bình 2005-2006

-Gọi $x_1;x_2;x_3$ là 3 nghiệm thực phân biệt của pt $P(x)=0$. Theo định lý Bezout và do hệ số của $x^3$ bằng 1 $\Rightarrow P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
-Suy ra:$P[Q(x)]=(Q(x)-x_1)(Q(x)-x_2)(Q(x)-x_3)$. do pt $P[Q(x)]=0$ vô nghiệm nên $Q(x)-x_1\neq 0;Q(x)-x_2\neq 0;Q(x)-x_3\neq 0$
-Với $Q(x)-x_1\neq 0\Rightarrow$ phương trình $x^2+x+2005-x_1=0$ vô nghiệm, suy ra:
$\Delta =1-4(2005-x_1)<0\Leftrightarrow 2005-x_1>\frac{1}{4}$
-Tương tự: $2005-x_2>\frac{1}{4};2005-x_3>\frac{1}{4}$
Vậy: $P(2005)=(2005-x_1)(2005-x_2)(2005-x_3)>(\frac{1}{4})=\frac{1}{64}<Q.E.D>$


#298026 Topic bất đẳng thức THCS (2)

Gửi bởi minhtuyb trong 04-02-2012 - 14:30

Bài 240: Cho x,y là các số thực thoả mãn $x^2+y^2=x+2$. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
$P=x+2y$

$P=x+2y\Rightarrow x=P-2y$.Theo gt ta có:
$(P-2y)^2+y^2=P-2y+2\Leftrightarrow P^2-4Py+4y^2+y^2-P+2y-2=0\Leftrightarrow 5y^2-2(2P-1)y+P^2-P-2=0$
Để pt bậc hai ẩn y có nghiệm thì :
$\Delta '=(2P-1)^2-5(P^2-P-2)\geq 0$
$\Leftrightarrow -P^2+P+11\geq 0$
Giải BPT trên thu đc $\frac{1-3\sqrt{5}}{2}\leq P\leq \frac{1+3\sqrt{5}}{2}$


#297952 $2x^2-y^{14}=1$

Gửi bởi minhtuyb trong 03-02-2012 - 21:00

Thử phát :):
Dễ thấy $y$ lẻ $\Rightarrow y^7$ lẻ. Đặt $y^7=2k+1 (k\in Z)$ thì:
$2x^2-y^14=1\Leftrightarrow 2x^2=y^14+1=(2k+1)^2+1 \Leftrightarrow 2x^2= 4k^2+4k+2\Leftrightarrow x^2=2k^+2k+1\Leftrightarrow x^2=(k+1)^2+k^2(1)$
-Với $k=0\Rightarrow x=\pm 1;y^7=1\Leftrightarrow x=\pm 1;y=1™$
-Với $k=-1\Rightarrow x=\pm 1;y^7=-1\Leftrightarrow x=\pm 1;y=-1™$
-Với $k\neq 0;-1$ thì (1) trở thành phương trình Py-ta-go. Lại có $k;k+1$ là hai số nguyên liên tiếp $\Rightarrow$ phương trình Py-ta-go có nghiệm duy nhất $x^2=5^2;(k+1)^2=4^2;k^2=3^2\Rightarrow x=\pm 5;k=\pm 3\Rightarrow x=\pm 5;y^7=\pm 3$. Pt vô nghiệm vì $y\not\in Z$
Vậy pt có nghiệm nguyên là :$(x;y)=(1;1);(1;-1);(-1;1);(-1;-1)$


#297703 Chứng minh có đúng 1 trong ba số lớn hơn 1

Gửi bởi minhtuyb trong 01-02-2012 - 17:52

Bài 2: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=c$
Bài 3: $21(a+\frac{1}{b})+3(b+\frac{1}{a})=21a+3b+\frac{21}{b}+\frac{3}{a}=(\frac{3}{a}+\frac{a}{3})+(\frac{21}{b}+\frac{7b}{3})+\frac{62}{3}a+\frac{2}{3}b$
$\geq 2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{62}{3}.3+\frac{2}{3}.3=80<Q.E.D>$
Dấu bằng khi $a=b=3$

Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.

$\left\{\begin{matrix} xyz=1\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})< x+y+z \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ xy+yz+zx< x+y+z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ x+y+z-(xy+yz+zx)>0 \end{matrix}\right.$
Xét tích:
$(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=x+y+z-(xy+yz+zx)>0\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)>0$
Vậy trong 3 số $x,y,z$ có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu $x,y,z>1\Rightarrow xyz>1$. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM


#296520 Tìm giá trị biểu thức: $P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfra...

Gửi bởi minhtuyb trong 26-01-2012 - 11:45

Cho x,y,z khác không thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}
x(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+y(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})z(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})=-2 & \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 &
\end{matrix}\right.$
Tìm giá trị biểu thức: $P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$

Tính đc đến đây thôi:
$x(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})+y(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})z(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})=-2\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}+\frac{x}{z}=-2\Leftrightarrow \sum \frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=1$
$\Leftrightarrow \sum x(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1\Leftrightarrow (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=x^2+y^2+z^2(=1)
\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}$


#295019 Topic bất đẳng thức THCS (2)

Gửi bởi minhtuyb trong 21-01-2012 - 13:43

Bài 137: (không biết dễ hay khó :lol: Zz )
Quy nạp nhé ;)
Cho n số thực dương $x_1;x_2;...x_n$ có tích bằng 1. Chứng minh rằng
$x_1+x_2+...+x_n\geq n$

*Với $n=1$, BĐT đúng
*Giả sử BĐT đúng với $n=k$, tức là ta có:
$x_1+x_2+...+x_k\geq k(1)$ với $x_1.x_2.....x_k=1$ (giả thiết quy nạp)
-Cần c/m: $x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}\geq k$ với $x_1.x_2.....x_k.x_{k+1}=1$. Thật vậy, cộng 2 vế của (1) với $x_{k+1}$, ta có:
$x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}\geq k+x_{k+1}$
Mà $x_1.x_2.....x_k=1$ và $x_1.x_2.....x_k.x_{k+1}=1\rightarrow x_{k+1}=1$. Suy ra:
$x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}\geq k+x_{k+1}=k+1(Q.E.D)$
Vậy BĐT đúng với $n=k+1$. Theo giả thiết quy nạp thì BĐT đã cho đúng với $\forall n\in N*$