minhtuyb

Đề bài: Cho a,b,c là những số nguyên và p là một số nguyên tố lẻ.

Chứng minh rằng nếu đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$ nhận giá trị là một số chính phương tại $2p-1$ giá trị khác nhau của $x$ thì $p$ chia hết $b^2-4ac$.

$\fbox{Bài toán:}$ Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn:
$$f(m+n-mn)=f(m)+f(n)-f(mn)$$

$\fbox{Bài toán:}$      Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
$$\left \lfloor n\sqrt{2} \right \rfloor=\left \lfloor 2+m\sqrt{2} \right \rfloor$$

$\fbox{Bài toán:}$ Cho $1000$ số $000;001;...;999$ và $100$ hộp $00;01;...;99$. Một số $\overline{abc}$ có thể được xếp vào một trong các hộp $\overline{ab};\overline{bc};\overline{ac}$.
 
VD: Số $000$ chỉ có thể xếp vào hộp $00$; số $123$ có thể được xếp vào hộp $12$,$13$ hoặc $23$
 
Hỏi số hộp tối thiểu để xếp đủ $1000$ số trên?
 
 
$\fbox{Tổng quát}$

$\fbox{Bài toán:}$ Cho $x,y,z>1$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$, tìm GTNN của biểu thức:

$$S=\dfrac{x-1}{y^2}+\dfrac{y-1}{z^2}+\dfrac{z-1}{x^2}$$