chanh1223

Khảo sát tính lồi của các tập sau đây

1. Hội, giao, hiệu, tổng, tích của hai tập lồi.

2. Không gian Vecto con, Nửa không gian đóng, Siêu phẳng.

3. Đoạn nối hai điểm, Hình cầu đóng, hình cầu mở trong không gian định chuẩn.

4. Tích của số thực t và tập lồi A.

5. Hình tròn tâm (1,-3) và bán kính 5.

 

Giải câu 5.

Đặt 

$M_0=\left\{ (x,y) \in R^2 : (x-1)^2+(y+3)^2 \leq 5 \right\}$

 

Đặt $X=x-1$ $Y=y+3$ 

$M   =\left\{ (x,y) \in R^2 : X^2+Y^2 \leq 5 \right\}$

 

Ta chứng minh $M$ là tập lồi thì $M_0$ cũng là tập lồi.

 

Gọi $u_1(x_1,y_1), u_2(x_2,y_2) \in M$

Gọi $u(X,Y)$ là tổ hợp lồi của $u_1$, $u_2$. 

$u=(\lambda u_1 + (1-\lambda) u_2)$; $\lambda \in [0,1]$

$x=(\lambda X_1 + (1-\lambda) X_2)$; $y=(\lambda Y_1 + (1-\lambda) Y_2)$

Khi đó 

$X^2+Y^2=\lambda^2(x_1^2+y_1^2) + (1-\lambda)^2(x_2^2+y_2^2) + 2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2)$

$x_1^2+y_1^2 \leq 5$

$x_2^2+y_2^2 \leq 5$ 

Theo BĐT Cauchy 

$x_1x_2 + y_1y_2 \leq \dfrac{x_1^2+x_2^2}{2} + \dfrac{y_1^2+y_2^2}{2} \leq \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 5$

 

Suy ra $X^2+Y^2 \leq 5(\lambda^2 + 2\lambda(1-\lambda) + (1-\lambda)^2)$

           $\Rightarrow X^2+Y^2 \leq 5 \\ \Rightarrow u \in M$

Vậy $M$ là tập lồi nên $M_0$ cũng là tập lồi.

 

Các câu còn lại mình chưa giải, mọi người tham khảo. 

Trình bày phương pháp vẽ Parabol khi biết:
Tiêu điểm

Đường chẩn

Trục đối xứng và đỉnh

Chứng minh.

Phương trình tổng quát của đường bậc 2: 

$A.X^{2} + 2B.XY + C.Y^{2} + 2D.X + 2E.Y + F$

• Xác lập phương trình conic qua 5 điểm cho trước, điều kiện để xác lập một conic là gì?
• Xác lập phương trình Parabol qua 4 điểm cho trước, điều kiện để xác lập Parabol đó. Biết Phương trình tổng quát bậc 2 của Parabol có $AC = B^{2}$

Tôi được nghe điều này từ người giảng viên của mình, ông ấy nói nếu muốn phát triển tư duy toán học thì cần phải phát triển từ những điều đơn giản nhất.

Sau đây là ví dụ.

"a là số chẵn"

Bạn có thể nghĩ ra những điều gì từ câu trên?

$a$ chia hết cho 2

$a$ có dạng 2k với k là số nguyên

$a^{2}$ chia hết cho 4

$a^{3}$ chia hết cho 8

...$a^{n}$ chia hết cho $2^{n}$

$a$ là tổng của 2 số lẻ

$a$ cộng với một số lẻ sẽ cho ra một số lẻ

$a$ cộng với một số chẵn đáp số là một số chẵn

nếu $a$ chia hết cho 3 thì $a$ cũng sẽ chia hết cho 6

nếu $a$ chia hết cho 5 thì $a$ cũng sẽ chia hết cho 10

...nếu $a$ chia hết cho số k với (k,2)=1 thì $a$ chia hết cho (2k)

tận cùng của $a$ là 0,2,4,6,8

nếu $a$ có tận cùng 0 thì $a^{n}$ cũng tận cùng 0

nếu $a$ có tận cùng 6 thì $a^{n}$ cũng tận cùng 6

..đó là một số điều tôi suy ra từ câu trên, nếu muốn phát triển tư duy thì cần phải tìm ra những điều mới mẻ hơn mà tôi chưa làm được. Hi vọng các bạn có thể suy ra được thêm nhiều tính chất nữa hoặc có thể đóng góp thêm một chủ đề mới để phân tích sáng tạo thêm. Tư duy là nền tảng của toán học, do đó tôi nghĩ điều này nếu làm việc thường xuyên sẽ giúp ích khá nhiều.

$$A=\left \{ \frac{1}{n^{2}+n+1}|n\in\mathbb{N} \right \}$$

Tìm SupA, InfA?