altair5927

Với $x+y+z=3$ tìm min
$M=x\sqrt{\frac{x}{y+3}}+y\sqrt{\frac{y}{z+3}}+z\sqrt{\frac{z}{x+3}}$

Chứng minh các BĐT sau bằng PP đạo hàm:
1) $c\leq 0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$ CM: $2(a+b+c)-abc\leq 10$
(bài này thầy mình gợi ý thế c theo a và b rồi đặt tổng a+b là ẩn nhưng mình làm không ra mà làm thế nào đoán max biểu thức là 10 nếu đề không cho trước nhỉ? thầy mình bịa đề đấy)
2) $a, b, c\geq 0$ và $ab+bc+ac=1$ CM: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{5}{2}$
(bài này gợi ý cũng là thế c theo a và b nhưng mình làm kiểu gì toàn bị ngược dấu)

1) $n\geq 3, n\in N $ (n lẻ) CMR với mọi $x\neq 0$
$\left [ 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!} \right ]\left [ 1-x+\frac{x^{2}}{2!}-...-\frac{x^{n}}{n!} \right ]< 1$
2) $n\in R, a+b\geq 0$ CMR
$(\frac{a+b}{2})^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}{2}$
3) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị:
$y=\left ( m+1 \right )\left [ \frac{x^{2}}{x^{2}+1} \right ]^{2}-3m\left [ \frac{x^{2}}{x^{2}+1} \right ]+4m$
4) Cho các số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng nếu phương trình $ax^{2}+(b+c)x+d+e=0$ có nghiệm thực thuộc nửa khoảng $[1;+\infty )$ thì phương trình: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ có nghiệm.
Đây là một số bài trong phần đạo hàm hàm số (Chuyên đề BDHSG của thầy Phạm Kim Chung) mà mình chưa làm được mong mọi người giúp đỡ. Mình chỉ còn đêm nay và ngày chủ nhật nữa thôi, thứ hai thi rồi :)

Bài 1: Cho dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{1}=\sqrt{2015}$ và $v_{n+1}=v_{n}^{2}-2$ với mọi n không nhỏ hơn 1. CMR $lim \frac{v_{n+1}^{2}}{v_{1}^{2}v_{2}^{2}...v_{n}^{2}}=2011$
Bài 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{4n+1}{2^{n}}$. Thành lập dãy số $(s_{n})$ với $s_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$. Tìm lim $s_{n}$.
Tạm 2 bài đã. Mọi người hướng dẫn mình hướng suy luận luôn nhé. Mấy bài tính lim tổng mình nghĩ thường tính $s_{n+1}-s_{n}$ rồi tách thành những phần tử có thể triệt tiêu khi cộng vế, còn bài này khó tách quá

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho © là đồ thị của hàm số $y=\frac{x^{2}-3x+3}{x-1}$, M và N là các điểm mà từ mỗi điểm đó đều kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị ©. CMR độ dài đoạn MN không vượt quá 4.
Bài 2: CMR có duy nhất một điểm thuộc đths © của hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+2$ mà qua điểm đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến với ©.