thanhelf96

cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

$H=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^{2}+b^{2}}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}$

 

$\int_{0}^{1}\left ( x^{2}sin^{3} x+\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right )dx$

 

$\left [ 3\sqrt{x}-(x+2) \right ]+\left [ 3\sqrt{5-x}-(7-x) \right ]=3x^{3}-12x^{2}-3x+12$

$\Leftrightarrow \frac{-x^{2}+5x-4}{3\sqrt{x}+(x+2)}+\frac{-x^{2}+5x-4}{3\sqrt{5-x}+(7-x)}=3(x^{2}-5x+4)(x+1)$

$\sqrt{\frac{x^{2}-2x+4}{x-1}}+\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=\sqrt{2x^{2}+3x+2}$

 

Điều kiện: $\dpi{100} x\epsilon D=\left [ -3;1 \right ]$

PT (1) ban đầu tương đương: 

$\dpi{100} \Leftrightarrow m=\frac{3\sqrt{x+3}+4\sqrt{1-x}+1}{4\sqrt{x+3}+3\sqrt{1-x}+1}$ (2)

Đặt: 

$\dpi{100} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+3}=2cosy & \\ \sqrt{1-x}=2siny& \end{matrix}\right.$

$\dpi{100} y\epsilon \left [ 0;\frac{\Pi }{2} \right ]$

Khi đó phương trình (2) tương đương:

$\dpi{100} m=\frac{6cosy+8siny+1}{8cosy+6siny+1}(3)$

Đặt: $\dpi{100} t=tan\frac{y}{2}\Rightarrow t\epsilon \left [ 0;1 \right ]$

Ta có: $\dpi{100} cosy=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

$\dpi{100} siny=\frac{2t}{1+t^{2}}$

Khi đó pt(3) $\dpi{100} \Leftrightarrow m=\frac{-5t^{2}+16t+7}{-7t^{2}+12t+9}(4))$

Xét hàm số: $\dpi{100} f(t)=\frac{-5t^{2}+16t+7}{-7t^{2}+12t+9},t\epsilon \left [ 0;1 \right ]$

và : $\dpi{100} y=m$ (là đường thẳng song song với trục hoành)

+) Để pt ban đầu có nghiệm x thì đường thẳng y=m phải cắt đồ thi hàm số F(t) tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc [0;1]

Bảng biến thiên bạn tự vẽ nhé!

Đáp án của mình là: $\dpi{100} m\epsilon \left [ \frac{7}{9};\frac{9}{7} \right ]$

Đề thi HSG 11 tỉnh Bắc Giang 2012-2013

Ngày thi 31/3/2013

 

Câu 2:

1) Có bao nhiều số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện 2 lần, các chữ số khác xuất hiện không quá một lần.

 

2) cho n là số nguyên dương thoả mãn: 

$1C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+...+nC_{n}^{n}=128n$

Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển thành đa thức của: 

$f(x)=2(1+x)^n+x(2+x)^{n+1}$

 

Câu:3

1) Cho dãy số (Un) được xác định như sau:

$x_{1}=1 ;x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( x_{n}+\frac{2013}{x_{n}})$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}$

 

2) Tính giới hạn:

  $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{4+x}\sqrt[3]{1+2x}-2}{}x$

 

Câu 4:

1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A,B,C di động sao cho chúng luôn tạo thành một tam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng $\bigtriangleup$ cố định. Tìm tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

2) Cho hình chớp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 60 độ. Gọi N là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC.

a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN?

2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD?

 

Câu 5: 

Cho A,B,C là ba góc của một tam giác . Chứng minh rằng:

$sinA +sinB-\frac{\sqrt{2}}{2}cosC\leq \sqrt{2}$

đặt S=$(sin^3\frac{\alpha }{3}+3sin^3\frac{\alpha }{3^2}+...+3^{n-1}sin^3\frac{\alpha }{3^n})$
tính $\lim_{x\rightarrow +\infty }S=?$

Cho a,b,c là ba hằng số và (Un) là dãy số được xác định bởi công thức:
$U_{n}=a\sqrt{n+1}+b\sqrt{n+2}+c\sqrt{n+3}$ ($\forall n\epsilon \mathbb{N}^{*}$
chứng minh rằng $\lim_{x\rightarrow \infty }U_{n}=0 \Leftrightarrow a+b+c=0$

ra các hộ nghiệm là
+) sinx + cosx = 0 $\Rightarrow tanx=1\Leftrightarrow x=\frac{\Pi }{4}+k\Pi$
+)$sinx+cosx=0 \Leftrightarrow tanx = -1\Leftrightarrow x=\frac{-\Pi }{4}+k\Pi$
+) $(1+sinxcosx)(4sinxcosx-1)-1=0$
đặt $sinxcosx=t , t\epsilon \left \lceil \frac{-1}{2} ;\frac{1}{2}\right \rceil$
rồi bạn giải tiếp thôi ra $t= \frac{-3+\sqrt{41}}{8}\Rightarrow sin2x=\frac{-3+\sqrt{41}}{4}$

Giả sử $a_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2^1}{1} +\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}\right )$
Chứng minh rẳng dãy số $a_{n}$ là dãy số giảm và tính giới hạn của $a_{n}$ biết $a_{n}$ là dãy có giới hạn

cho z,y,z là ba số thực dương thỏa mãn: $xyz=1$
$\sqrt{\frac{x+y}{x+1}}+\sqrt{\frac{y+z}{y+1}}+\sqrt{\frac{z+x}{z+1}}\geq 3$

Tìm tất cả các số nguyên dương $a\geq b\geq c$ sao cho
$\left ( 1+\frac{1}{a} \right )\left ( 1+\frac{1}{b} \right )\left ( 1+\frac{1}{c} \right )=2$

Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c=6$
CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geqslant 2$

$(Un)$ $:$ $\left\{\begin{matrix} U_{1}=2 & \\U_{n+1} = \frac{2U_{n}+1}{U_{n}+1} & \end{matrix}\right.$
Tìm phần nguyên của $S = U_1 + U_2 + .... + U_n$

1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm thuộc miền trong các tam giác ABC, ABD,BCD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mp(MNP)