ngoc980

Nối AO,BO,CO apd định lý pitago trong tam giác vuông ta có
$AN^{2}+ON^{2}=AO^{2}=AP^{2}+OP^{2}$
$CM^{2}+OM^{2}=CO^{2}=NC^{2}+ON^{2}$
$BP^{2}+OP^{2}=BO^{2}=BM^{2}+OM^{2}$
Công vế với vế suy ra đpcm

Câu2:
+/Xét $x-y-6> 0\Rightarrow x-y-6> x+y$ (Vì $x-y-6\leq x+y\Rightarrow (x-y-6)^{2}\leq (x+y)^{2}\Leftrightarrow (x+y)^{3}\leq (x+y)^{2}\Leftrightarrow 1\geq x+y$ loại do x,y>0)
$x-y-6> x+y\Leftrightarrow -3> y$ loại do y>0
+/Xét $x-y-6< 0\Rightarrow -x+y+6> 0\Rightarrow -x+y+6> x+y\Leftrightarrow 3> x\Rightarrow x =2 or1$
thử vào thấy x=1 thì y=3 thỏa mãn
+/xét x-y-6=x+y=0 thì x=-y loại
Vậy x=1;y=3

Bài 13 : Cho $\Delta ABC$ ; $\widehat{B_1}$ , $\widehat{C_1}$ lần lượt là góc ngoài của $\Delta ABC$ tại đỉnh $B$ ; $C$ . $CMR$ : giao điểm của hai tia phân giác của hai góc $\widehat{B_1}$ , $\widehat{C_1}$ nằm trên tia phân giác của $\widehat{A}$ .

P/s : Có cách chứng minh phản chứng thì càng hay .

Mình nghĩ cm ko bằng phản chứng thì nhanh hơn đó
Giải nhự sau:
G/s phân giác của hai góc $\widehat{B_1}$ , $\widehat{C_1}$ cắt nhau tại O
kẻ OH, OK, OP lần lượt vuông góc với AB,AC,BC
Do BO là p/g $\widehat{B_1}$ nên OH=OP (1)
Do CO là p/g $\widehat{C_1}$ nên OK=OP(2)
Từ (1) và (2) suy ra OH=OK suy ra O nằm trên p/g $\widehat{A}$ .

Giải:
$2bd=c(b+d)\Leftrightarrow (a+c)d=c(b+d)\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$
$\Leftrightarrow (a+c)d=(b+d)c\Leftrightarrow ad+cd=bc+cd\Leftrightarrow ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
q.e.d

Bài của anh nguyentrunghieua
bài giải: $MN\cap EC$ tại H
ta có: Do AD là p/g nên DM=DN suy ra AM=AN .$\Delta AMN$ cân tại A $\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ANM}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}$ $\Rightarrow \widehat{HNC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}$ ( vÌ $\widehat{ANM}=\widehat{HNC}$ hai góc đ đ)
Mặt khác $\Delta EAC$ cân tại A suy ra $\widehat{AEC}=\widehat{ACE}=\frac{180^{\circ}-\widehat{EAC}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{HNC}+\widehat{HCN}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}+\frac{180^{\circ}-\widehat{EAC}}{2}$
$=\frac{360^{\circ}-\widehat{BAC}-\widehat{EAC}}{2}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{NHC}=90^{\circ}$
SUY RA ĐPCM

Do $2x^{2}\geq 0 ; (x^{2}+1)> 0\Rightarrow y\geq 0$
Tương tự $x,z\geq 0$
Nhận thấy x=y=z=0 là nghiệm của pt. Xét $x,y,z> 0$
Lại có $(x^{2}+1)\geq 2x\Rightarrow (x^{2}+1)y\geq 2xy\Leftrightarrow 2x^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow x\geq y$ ( Do $x,y,z> 0$nên ta chia cả hai vế cho 2x) (1)
Tương tự : $y\geq z$ (2)
$z\geq x$ (3)
Từ (1);(2)và (3) suy ra x=y=z
Thay vào pt ta có $(x^{2}+1)x=2x^{2}\Leftrightarrow x^{2}+1=2x\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1;z=1$
Vậy nghiệm của pt là (0;0;0) và(1;1;1)

Tìm a,b,c nguyên dương. Biết:
$a^{3}$+3$a^{2}$+5=$5^{b}$ và a+3=$5^{c}$
Ta có: $a^{3}+3a^{2}+5=5^{b}\Leftrightarrow a^{2}(a+3)+5=5^{b}\Leftrightarrow a^{2}.5^{c}+5=5^{b}\Leftrightarrow \Leftrightarrow a^{2}.5^{c-1}+1=5^{b-1}$
$\Rightarrow b-1=0 or c-1=0$
nếu b-1=0 thì thay vào không thỏa mãn
Nếu c-1=0 thì c=1 suy ra a=2 suy ra b=2

Cho tam giác ABC vuông cân tại C .gọi E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B vẽ tia vuông góc với tia AE cắt AE tại H, AC tại K.
chứng minh BE.BC + AE.AH không đổi khi E di chuyễn trên cạnh BC

Giải như sau :
Ta có: $\Delta ACE\sim AHK$(G-G)$\Rightarrow \frac{AC}{AH}=\frac{AE}{AK}\Rightarrow AE.AH=AC.AK$ (1)
$\Delta BHE\sim \Delta BCK\Rightarrow \frac{BH}{BC}=\frac{BE}{KB}\Rightarrow BC.BE=BH.KB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE.BC+AE.AH=BH.KB+AC.AK
Mặt khác $\Delta ACE=\Delta BCK$(G-C-G) $\Rightarrow AE=BK$;$S_{\Delta ACE}=S_{BCK}$
BE.BC+AE.AH=BH.KB+AC.AK hay BE.BC+AE.AH=BH.AE+ABC.AK
Lại có: BH.AE+ABC.AK= $S_{\Delta AEB }+S_{\Delta ABK}$=$S_{\Delta AEB }+S_{\Delta BCK}+S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AEB}+S_{\Delta ACE}+S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta ABC}$ (không đổi)
suy ra BH.AE+ABC.AK không đổi hay BE.BC+AE.AH không đổi
$\Rightarrow$ đpcm

Tiếp 1 bài nữa nhe!
Bài toán 2:
cmr Nếu a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thì $2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}> 0$
Giải:
Ta có:
$a< b+c \Rightarrow a-c< b\Rightarrow c-a> -b\Rightarrow (c-a)(a+c)> -b^{2}\Rightarrow (a-c)(a+c)< b^{2}\Rightarrow a^{2}-c^{2}< b^{2}$
$\Rightarrow a^{2}< b^{2}+c^{2}\Rightarrow a^{4}< a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}$
Tương tự :
$b^{4}< a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}$
$c^{4}< a^{2}c^{2}+c^{2}b^{2}$
$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}< 2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}$
$\Rightarrow$ đpcm
Các bạn xem bài trên có sai không

Chỗ đó mình sử dụng tính chất đoạn chắn song song mà

$\left\{\begin{matrix} xyz+z=a\\xyz^{2}+z=b \\x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \end{matrix}\right.$
tìm a, b de phương trình có nghiệm duy nhất

Ta thấy nếu (x;y;z) là nghiệ của pt thì (-x;-y;z) của pt do đó x=y=0 suy ra z=a=b=-2 hoặc a=b=z=2
TH1 a=b=z=2
$\inline $\left\{\begin{matrix} xyz+z=2\\xyz^{2}+z=2 \\x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \end{matrix}\right.$$
Một nghiệm của pt là (0;0;2). Nếu xy khác 0 thì pt có 5 nghiệm (loại)
TH2 a=b=z=-2
$\inline $\left\{\begin{matrix} xyz+z=-2\\xyz^{2}+z=-2 \\x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \end{matrix}\right.$$
cũng tương tự như trên ta gpt ra và khẳng dịnh được (0;0;-2) là nghiêm duy nhất của pt

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ có $O$ giao điểm của ba đường trung trực. $I$ trung điểm $BC$, $H$ là trực tâm của tam giác. Chứng minh $OI=\frac{1}{2}AH$
Em giải thế này mọi người xem đúng không nhé!
Trên tia đói của tia OB lấy K sao cho O là trung điểm của BK .Nối CK, AK
Ta có OI song song và bằng $\frac{1}{2}$ KC và KC song song AH (Do AH song song OI).Vậy bg ta chỉ cần chứng minh KC=AH
Lấy M là trung điểm của AB suy ra OM song song và bằng 1/2 AK suy ra CH song song AK (vì OM song song CH)
Vậy tứ giác AHCK có AH song song Ck; CH song song AK suy ra AH=CK $\Rightarrow$ đpcm

Bài 2:
Qua G kẻ GK song song AB suy ra GK=AE=BF và EG=AK (1)
$\Delta FBH và \Delta KGC$ có:
BF=GK
$\widehat{KGC}=\widehat{FBH}$
$\widehat{GKC}=\widehat{BAC}=\widehat{BFH}$
$\Rightarrow \Delta FBH=\Delta KGC$(G-C-G)
$\Rightarrow $ FH=KC(2)
Từ (1) và(2) suy ra đpcm

Cho các số a,b,c thỏa mãn: $2\leq c\leq 3$; $2\leq \frac{b}{2}+\frac{3}{c}$; $3\leq a+\frac{b}{2}+\frac{3}{c}$
cmr: $c^{2}-a^{2}-b^{2}\leq 4$

He`he` cách nữa đây nè(cách tiểu học luôn nhé) vẫn gọi như bạn trên gọi thêm BM là chieuf cao ứng với cạnh cân
ta có: $S_{ABC}=S_{ACD}-S_{ABD}\Leftrightarrow \frac{AC.BM}{2}=\frac{DK.AC}{2}-\frac{DH.AB}{2}\Leftrightarrow AC.BM=AC(DK-DH)\Leftrightarrow BM=DK-DH$
$\Rightarrow$ q.e.d