ngoc980

Cho x=y=-1 vào suy ra f(0)=-f(0)=> f(0)=0

+) Cho y=0 vào suy ra f(f(x))=xf(1) suy ra f đơn ánh

cho x=1 suy ra f(f(1))=f(1) suy ra f(1)=1

+) ở phương trình đầu cho x=1 vào suy ra f(1+f(y))=f(y+1) suy rs 1+f(y)=y+1

Vậy f(x)=x  ===>>>~~~~ KHang ngu~~~~ hehe

Bà này chặn

TH1: x<y $\Rightarrow (x+y+z+1)^2\geq (x+y+z)^2-2(x-y)\geq (x+y+z)^2$

TH2: X>y $\Rightarrow (x+y+z)^2\geq (x+y+z)^2-2(x-y)\geq (x+y+z-1)^2$

giả sử a<b<c<d là 4 ước nhỏ nhất của n suy ra a=1

+) nếu a,b,c,d đều lẻ => n ko có ước nguyên tố là 2 mà $n= a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ suy ra n chẵn => n chia hết cho 2 => vô lý

=> tồn tại 1 số chẵn => n có ước là 2=> b=2

=> $n= 5+c^{2}+d^{2}$

mặt khác do n chẵn nên c, d có 1 số chẵn và 1 số lẻ

Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất khác 2 của n thì suy ra c=p và d=2p

=>$n= 5+5p^{2}$$\Rightarrow n\vdots 5\Rightarrow p=5$ Vậy n=130 

Do a+b+c=4 suy ra $a<4\Rightarrow a^{4}<4a^{3}\Rightarrow \sqrt[4]{a^{3}}>\frac{a}{\sqrt[4]{4}}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta đc:

$\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}>\frac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ q.e.d.

Bài 1:$2^{11}-1=2047=23.89$Vậy là hợp số
Bài 2:$\sqrt{2003}=44,754(8)$Vậy chữ số thập phân thứ 15 là 8
Bài 3:$-2005=5.(-401)=-5.401$(401 là số nguyên tố)
Bài 4:Là phân số $\frac{781036057}{250000}$

Bài 2:$\sqrt{2003}=44,754(8)$Vậy chữ số thập phân thứ 15 là 8chỗ này sai rồi bạn ơi!

Lập quy trình tính:$S_{n}=(1^{3}+2^{3})(1^{3}+2^{3}+3^{3}).....(1^{3}+2^{3}+...+(n-2)^{3}+(n-1)^{3}+n^{3})$

Tìm các số nguyên dương x,y,z,t sao cho:$5(x+y+z+t)+7=xyzt$

Số 55 lấy ở đâu thế bạn ?

chỉ là viết N+18=(N-37)+55; N+34=(N-21)+55 thôi mà

*Góp vui cho topic của em ^^*
Bài 5: Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có P(21)=17; P(37)=33. biết P(N)=N+51. Tìm N (N là số nguyên)

cách khác nè:
AD: P(x)=a; P(y)=b thì a-b chia hết cho x-y
Ta có: $P(N)-P(37)=N+18\Rightarrow N+18\vdots N-37$(1)
$P(N)-P(21)=N+34\Rightarrow N+34\vdots N-21$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $\left\{\begin{matrix} 55\vdots N-37 & & \\ 55\vdots N-21 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow N\epsilon {26;32}$

cuối cùng vẫn phải lên VMF ròi,pó chân
BDT THCS nè
$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}+\frac{c^2a}{b^3(c+a)}+\frac{a^2b}{c^3(a+b)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
p/s:ai mod THCS đừng cho THPT vào nhé,hehe,(họ chém hết đó )

Giải:
$\frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}+\frac{b+c}{4bc}+\frac{1}{2b}\geq \frac{3}{2a}$
Làm tương tự rồi công vê với vê ta đc:
$\frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}+\frac{c^{2}a}{b^{3}(a+c)}+\frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}+\frac{3}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{3}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\rightarrow \rightarrow dpcm$

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1; chứng minh rằng :
ab + bc +ca <= 3/4

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)= (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow 1\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow \frac{81}{64}\geq (a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)^{3}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}\geq ab+bc+ca \Rightarrow$ đpcm

Giải như sau:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$$
$$\leftrightarrow (x+y)z=xy$$
Đặt $gcd(x,y)=d \rightarrow x=dm,y=dn, gcd(m,n)=1$
Thế vào $PT$ suy ra
$$(dm+dn)z=dm.dn \leftrightarrow (m+n)z=dmn$$
Vì $gcd(m,n)=1 \rightarrow gcd(m+n,m)=gcd(m+n,n)=1$
Do đó $gcd(m+n,mn)=1$ suy ra $mn|z$
Ta chọn $z=mn \rightarrow m+n=d$
Khi đó $x+y=dm+dn=d(m+n)=d^2$ là số chính phương
Do đó $x+y$ có thể là số chính phương
Một ví dụ minh họa: $x=7.3,y=7.4, z=12$

Hoặc làm như sau nè:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z(x+y)=xy$
$\Leftrightarrow (x-z)(y-z)= z^{2}$
ta sẽ chứng minh được $(x-z,y-z)=1$
$\Rightarrow x-z=k^{2},y -z=t^{2}$
$\Leftrightarrow (kt)^{2}=z^{2}\Leftrightarrow kt=z$
Lại có: $x+y=(x-z)+(y-z)+2z=k^{2}+t^{2}+2kt=(k+t)^{2}$
Vậy x+y là số chính phương

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= \frac{1}{z}$
Hỏi x+y có thể là số chính phương được không? Vì sao?

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x+2y+3z\geq 20$
Tìm GTNN của biểu thức : B= $x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}$

$x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}-13y^{2}+y-4=0\Leftrightarrow y^{2}(x^{2}-xy+y^{2}-13)+y-4=0\Leftrightarrow y-4=0\Leftrightarrow y=4$
Thay vao pt 1: $x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0\Leftrightarrow x=1 or x=3$