sogenlun

Trên diễn đàn mình thấy nthoangcute có phương pháp giải phương trình khá hay qua các ví dụ dưới đây :

1. $$(4x-1)\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+2$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+1}-\dfrac{1}{2})(4x-2-2\sqrt{x^2+1})=0$$
2. $$3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^2+1})$$
$$\Leftrightarrow (3\sqrt{2x^2+1}-x)(1-3x-\sqrt{2x^2+1})=0$$
3. $$10x^2+3x+1=(6x+1)\sqrt{x^2+3}$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+3}-3x-2)(\sqrt{x^2+3}-3x+1)=0$$
...
Dù ở đây http://diendantoanho...oan-bằng-casio/ đã có bài nói về một cách phân tích nhưng chỉ là đối với căn thức của đa thức bậc nhất.
Rất mong mọi người chỉ giúp mình tại sao có cách phân tích trên.
Cảm ơn rất nhiều.

KÌ THI OLYMPIC BẮC HƯNG HẢI NĂM 2012

ĐỀ THI : MÔN TOÁN 11

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu I : (2,5đ)
1) Giải phương trình sau :
$$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x(1-x)^2}+\sqrt[4]{(1-x)^3} = \sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x^2(1-x)}+\sqrt[4]{x^3}$$
2) Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} x^3-y^3=28 \\ x^2+3y^2=x-9y \end{cases} $$
Câu II : ( 2,0đ)
Giải các phương trinh sau :
1) $\sin 4(x+\dfrac{\pi}{2})+cos(4x+5\pi)=1+4\sqrt{2}\sin (x-\dfrac{9\pi}{4}) $
2) $3\tan 2x - 4\tan 3x=\tan^2 3x.\tan 2x $
Câu III : (1,5đ)
1) Tính tổng :
$$S = C_{2012}^0+2C_{2012}^1+3C_{2012}^3+...+2012C_{2012}^{2011}+2013C_{2012}^{2012}$$
2) Có bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có $n$ chữ số được tạo thành từ các chữ số $1,2,3$ và mỗi chữ số này đền xuất hiện trong từng số ít nhất $1$ lần ? ( với $n \in \mathbb{N} , n \ge 3$)
Câu IV :(1,5đ)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy $ cho tam giác $ABC$ có 2 đỉnh $A,B$ lần lượt nằm trên trục $Ox, Oy$ , điểm $M(2;1)$ là trung điểm $AB$ , trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng $2x-3y+8=0$ ,, tam giác $ABC$ có diện tích bằng $3$ và hoành độ đỉnh $C$ nhỏ hơn $-5$.
1) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$
2) Phân giác trong $AD$ của tam giác $ABC$ chia tam giác thành hai phần . Tính tỉ số diện tích và tỉ số chu vi của hai phần đó.
Câu V : (1,5đ)
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, các mặt bên là hình vuông . $M,H$ là trung điểm của $CC',A'B'$
1) Tìm thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$ qua $M$ song song với $AH$ và $CB'$.
2) Tính diện tích của thiết diện vừa dựng được theo $a$.
Câu VI : (1,0đ)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=8$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$ E = \dfrac{a^4}{a^3+b^3+16}+ \dfrac{b^4}{b^3+c^3+16}+ \dfrac{c^4}{c^3+a^3+16}$$

Các lớp THCS :

T1/426 : (lớp 6) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $n$ lớn hơn 4 thì tồn tại cặp số tự nhiên $x,y$ với $\dfrac{n}{2} \le x <n$ và $\dfrac{n}{2} \le y <n$, chứng mình $x^2-y$ chia hết cho $n$.
T2/426 : (lớp 7) Cho tam giác ABc vuông cân tại A. Trên tia AC lấy hai điểm E và F sao cho $ABF =15^o$ và $CE=CF$. Tính số đo góc $CBF$
T3/426
Tìm nghiệm nguyên dương $$65(x^3y^3+x^2+y^2)=81(xy^3+1)$$
T4/426
Giải hệ :
$$\begin{cases} 9x^2+9xy+5x-4y+9\sqrt{y} =7 \\ \sqrt{x-y+2}+1 = 9(x-y)^2+\sqrt{7x-7y} \end{cases}$$
T5/426
Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC tù. Giả sử trên cạnh AB lấy điểm D sao cho $BC=\sqrt{2}.CD $ . Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AC ở E. Chứng minh rằng đường thẳng CD đi qua trung điểm của đoạn BE.

Các lớp THPT

T6
Cho $S = \sqrt{2}+\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}} + \sqrt[4]{\dfrac{4}{3}}+...+\sqrt[2013]{\dfrac{2013}{2012}} $
Tính phần nguyên của $S$.
T7
Giả sử $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác . Chứng minh rằng :
$$\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \le \dfrac{3\sqrt{3}abc}{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}$$
T8
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc nhau. M là điểm di động trong không gian. Cho biết $AB=4,AC=8,AD=12$. Tìm GTNN của $$ P =\sqrt{7}MA+\sqrt{11}MB+\sqrt{23}MC+\sqrt{43}MD$$

Tiến tới OLYMPIC toán

T9
Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ với $a_1=1, a_2=2$ và $a_{n+2}=4a_{n+1}+a_n , n \ge 1$
Chứng minh rằng :

• $a_n.a_{n+2}+(-1)^n.5$ luôn là số chính phương với mọi $n \ge 1$
  
• Phương trình $x^2-4xy-y^2=5$ có vô số nghiệm nguyên dương.

T10
Cho a là số thực thuộc $(0;1)$ và b là số phức thỏa $|b| <1$. Chứng minh rằng :
$$ |b|+|\dfrac{a-b}{1-ab}| \ge a$$
T11
Cho $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$. Chứng minh rằng
$$(\cot \alpha)^{\cos 2\alpha} \ge \dfrac{1}{\sin 2\alpha} $$
T12
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O. Điểm G không thuộc các mặt phẳng $(BCD),(CDA),(DAB),(ABC)$ và mặt cầu $(O)$. Gọi $X,Y,Z,T$ theo thứ tự là tâm mặt cầu ngoại tiếp của các tứ diện $GBCD,GCDA,GDAB,GABC$. Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ khi và chỉ khi $O$ là trọng tâm của tứ diện $XYZT$

________Mod khóa giúp mình nha

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐỀ SỐ 3 - THTT 12/426

Câu I : (2 điểm )
Cho hàm số $y = x^4-2x^2$ .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $©$ của hàm số.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của $©$, biết rằng tiếp tuyến tiếp xúc với $©$ tại hai điểm phân biệt.

Câu II : ( 2 điểm )

1. Giải phương trình

$$\cos 2x + \cos 3x – \sin x - \cos 4x = \sin 6x$$

1. Giải bất phương trình

$$4x^2+\sqrt{2x+3} \ge 8x+1$$

Câu III : ( 1 điểm)
$$ \int_0^{ln2} \frac{e^xdx}{(e^x-9)\sqrt{3e^x-2}}$$
Câu IV : ( 1 điểm )
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M,N,P,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,SD,SB$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABMN$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $MK$ và $AP$ theo $a$.
Câu V : ( 1 điểm )
Giải hệ phương trình :
$$\begin{cases} x^3y-y^4=7 \\ x^2y+2xy^2+y^3=9 \end{cases} $$
Phần riêng

· Theo chương trình chuẩn

Câu VIa (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn $© :x^2+y^2-2x+2y-2=0$và đường thẳng $\Delta : 2x+y+10=0$. Từ mộ tđiểm M bất kì trên $\Delta$ kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến $©$ ( A và B là các tiếp điểm). Xác định tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$$d_1 : \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1} =\dfrac{z}{1} $$
$$ d_2 : \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{1}$$
Và mặt phẳng $(P):x+y-2z+3=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với $(P)$ cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại A và B sao cho $AB =\sqrt{29}$
Câu VIIa (1 điểm)
Cho số phức z thỏa mãn $|z|- \bar{z}=3(-1+2i)$. Tính $|z|+|z|^2$

· Theo chương trình nâng cao

Câu VIb ( 2 điểm )

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, B(-10;1) , C(10;1).Xác định tọa độ đỉnh A biết diện tích tam giác ABG bằng 20.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $(P) : x+y+z+2=0$Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ sao cho $\Delta$ vuông góc với $d$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ bằng $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$.

Câu VIIb ( 1 điểm )
Giải hệ phương trình :
$$\begin{cases} 3^x+6.2^y=11+4^y \\ 2^y+4.3^x=7+9^x \end{cases} $$

Chứng minh rằng phương trình bậc 5 : $$x^5-5x^4+30x^3-50x^2+55x-21=0$$ có nghiệm duy nhất là : $$x=1+\sqrt[5]{2}-\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{16}$$.