Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


ductai199x

Đăng ký: 07-02-2012
Offline Đăng nhập: 31-01-2013 - 08:00
****-

#304038 [THÔNG BÁO] VỀ VIỆC LÀM CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CỦA DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

Gửi bởi ductai199x trong 13-03-2012 - 21:42

Em - Nguyễn Đức Tài và Tạ Hà Nguyên xin đăng kí làm:
-Phương trình nghiệm nguyên.
-Số nguyên tố - Hợp số.
-Toán suy luận logic và trong các phân môn khác.

Nhóm em xin cám ơn! :)


#300598 Tìm min P=$\frac{2}{a^{2}}+b^{2}+\frac{35}{ab}+2ab$

Gửi bởi ductai199x trong 22-02-2012 - 23:28

tìm giá trị nhỏ nhất của P:
P=$\frac{2}{a^{2}}+b^{2}+\frac{35}{ab}+2ab$ ($a,b >0$ va $a+b≤4$)


Đề bài của bạn bị sai rồi, mình chắc đề đúng phải là:

P=$\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab$ ($a,b >0$ và $a+b≤4$)

Mình xin giải như sau:

$P=(\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{2ab})+(\frac{32}{ab}+2ab)+\frac{2}{ab}$

$P=2(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{32}{ab}+2ab)+\frac{2}{ab}$

$P \ge 2\frac{4}{(a+b)^2}+16+\frac{2}{ab} \ge 2\frac{4}{4^2}+16+\frac{2}{4} = 17$

Vậy MinP $=17 \Leftrightarrow a=b;a+b=4 \Leftrightarrow a=b=2$


#299915 Tìm giá trị lớn nhất của d

Gửi bởi ductai199x trong 18-02-2012 - 23:53

Cho $a,b,c,d$ thỏa
$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị lớn nhất của d


Mình xin được giải bài này:

Theo đề bài, ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b+c+d =3 & \\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 3 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2=3$

$\Rightarrow 4a+4b+4c+4d=4a^2+4b^2+4c^2+4d^2=12$

$\Rightarrow (4a^2-4a+1)+(4b^2-4b+1)+(4c^2-4c+1)+(4d^2-4d+1) = 4$

$\Rightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2+(2d-1)^2 = 4$

Nhận xét: d lớn nhất $\Leftrightarrow (2d-1)^2$ đạt giá trị lớn nhất.

Lại có $(2a-1)^2 \ge 0; (2b-1)^2 \ge 0; (2c-1)^2 \ge 0$ nên $(2d-1)^2$ lớn nhất $\Leftrightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2 = 0$

$\Rightarrow (2d-1)^2 = 4$

$\Leftrightarrow 2d-1 = 2; -2$

TH1: Nếu $2d-1 = 2 \Leftrightarrow d = \frac{3}{2} = 1,5$ (1)

TH2: Nếu $2d-1 = -2 \Leftrightarrow d = \frac{-1}{2} = 0,5$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow d$ đạt giá trị lớn nhất $=1,5 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$


#299804 Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16

Gửi bởi ductai199x trong 18-02-2012 - 00:22

a) Cho $A=k^4+2k^3-16k^2+15k$ Với $k\epsilon Z$. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.
b) Cho 2 số tự nhiên avà b. Chứng minh rằng tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho $a^2+b^2+c^2$ là số chính phương.



Hình như đề bài của câu a của bạn bị sai rồi, phải là: $A = k^4 + 2k^3 - 16k^2 - 2k + 15$

a) Theo đề bài, ta có:

$A = k^4 + 2k^3 - 16k^2 - 2k + 15$
$A = (k^4 + 5k^3)-(3k^3+15k^2)-(k^2+5k)+(3k+15)$
$A = (k+5)(k^3-3k^2-k+3)$
$A = (k+5)[k^2(k-3)-(k-3)]$
$A = (k+5)(k-3)(k-1)(k+1)$

TH1: k là số chẵn:

$\Rightarrow$ $k+5, k-3, k-1, k+1$ là số lẻ vì $5,3,-1,1$ đều là các số lẻ, khi cộng với 1 số chẵn thì tổng là 1 số lẻ.

Do đó, tích 4 số lẻ là 1 số lẻ, 16 là số chẵn $\Rightarrow$ A lẻ $\Rightarrow$ A không chia hết cho 16

TH2: k là số lẻ:

$\Rightarrow$ $k+5, k-3, k-1, k+1$ là số chẵn vì $5,3,-1,1$ đều là các số lẻ, khi cộng với 1 số lẻ thì tổng là 1 số chẵn.

Do đó, giả sử tích 4 số chẵn là $A = 2m.2n.2p.2q = 16.m.n.p.q \Rightarrow A \vdots 16$.

Vậy điều kiện để A chia hết cho 16 là: k là số lẻ (k $\in Z$)

b)Theo đề bài, ta xét 2TH:

TH1: a,b cùng chẵn.
Đặt $a^2=4p; b^2=4q (p,q \in N)$, ta luôn chọn được $c = p+q-1 \Rightarrow c^2 = p^2+q^2+1+2pq-2p-2q$

$a^2+b^2+c^2 = 4p+4q+p^2+q^2+1+2pq-2p-2q = p^2+q^2+1+2pq+2p+2q = (p+q+1)^2$ - Là số chính phương.(1)

TH2: Không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn $\Rightarrow a \vdots 4$, b lẻ $\Rightarrow b$ chia 4 dư 1.
Đặt $a^2=4p;b^2=4q+1 (p,q \in N)$, ta luôn chọn được $c = 2(p+q) \Rightarrow c^2 = 4p^2+4q^2+8pq$

$a^2+b^2+c^2 = 4p+4q+1+4p^2+4q^2+8pq = (2p+2q+1)^2$-Là số chính phương.(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.


#299801 Cho N = 999...999 (200 chữ số 9). Hỏi $N^2$ có bào nhiêu chữ số

Gửi bởi ductai199x trong 17-02-2012 - 23:12

1, Cho N = 999...999 (200 chữ số 9). Hỏi N^2 có bào nhiêu chữ số


Mình xin được giải bài này như sau:

$N = 999...999$ (200 chữ số 9) $= (100...000) - 1$ (200 chữ số 0)
$\Rightarrow$ $N^2 = (100...000$(200 chữ số 0) $- 1)^2 = 100...00$(40000 chữ số 0)$-2.100...00$(200 chữ số 0)$+1$
$\Rightarrow$ $N^2 = 99...980...000$(39799 chữ số 9, 199 chữ số 0) $+ 1 = 99....9$(3799)$800...01$(198 chữ số 0)
Vậy $N^2$ có $3799+1+198+1 = 39999$ chữ số.


#299716 Chứng ming rằng: $$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\fr...

Gửi bởi ductai199x trong 17-02-2012 - 03:35

Lớp 9 mà cho đề khó quá nhỉ. Ko biết có học qua BĐT Schur chưa ? Có 1 cách giải bằng p,q,r và Schur

___
Em nghĩ bài này có thể dùng Chebishev được.


Sau 1 ngày tìm tòi thì mình ra bài này rồi đây, các bạn xem lời giải nhé!!!!!!!!!

Bài này mình chỉ dùng Cô-Si và Cô-si-Schwarz thôi nhé :)

BĐT sau: $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$ - Cauchy Schwarz in Engel Form

$\frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-bc} + \frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$

Ta có:

$\frac{ab}{1-ab} = \frac{2ab}{2(a^2+b^2+c^2)-2ab} \le \frac{2ab}{(2a^2+2b^2+2c^2)-(a^2+b^2)}$

$\frac{ab}{1-ab} \le \frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2}$

$\frac{2ab}{a^2+b^2+2c^2} = \frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

$\frac{1}{2}\frac{4ab}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)}$

$\frac{1}{2}\frac{(a+b)^2}{(a^2+c^2)+(b^2+c^2)} \le \frac{1}{2}(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})$ (1)

Tương tự, ta có:

$\frac{bc}{1-bc} \le \frac{1}{2}(\frac{b^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2})$ (2)

$\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}(\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2})$ (3)

Cộng 3 BĐT (1), (2), (3) vào, ta có:

$\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca} \le \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}$

$(\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca})-(\frac{ab-1}{ab-1}+\frac{bc-1}{bc-1}+\frac{ca-1}{ca-1})$

$=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} - 3 \le \frac{3}{2}$

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}$ (Điều phải chứng minh)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$a = b = c, a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Hoặc $a = b = c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$


#299590 $(xy+xz=44) wedge (xz+yz=23)$

Gửi bởi ductai199x trong 16-02-2012 - 00:44

tim so nghiem nguyen duong (x,y,z) cua he phuong trinh sau$\left\{\begin{matrix} xy+xz=44 & & \\ xz+yz=23& & \end{matrix}\right.$


Bạn phải chuyển chủ đề bài viết bằng cách ấn vào nút "Sử dụng trình soạn thảo đầy đủ" nếu bạn không muốn bị del bài. Mình xin giải bài của bạn nhé:

$xy + xz = 44$ (1)
$xz + yz = 23$ (2)
(2) $\Leftrightarrow z(x+y) = 23$
mà 23 là số nguyên tố mà $x+y > 1$ nên $x+y = 23$ và $z = 1$.

Thay $z=1$ vào (1) ta được hệ $xy+x=44$ $\Leftrightarrow x(y+1)=44$(*)
Và $x+y = 23$ $\Leftrightarrow$ $x+(y+1)=24$ $\Rightarrow$ $y+1 = 24-x$(**).
Lấy (**) thay vào (*), ta có:

$x(24-x) = 44$
$-x^2 + 24x - 44 = 0$
$x^2 - 24x + 44 = 0$
$(x-2)(x-22)=0$
$x = 2 \Rightarrow y = 21 \Rightarrow z = 1$ HOẶC $x = 22 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow z = 1$


#299589 CMR : $\frac{a^4}{b+c} + \frac{b^4}{c+a} +\frac{c^4}{a+b}...

Gửi bởi ductai199x trong 16-02-2012 - 00:26

1) Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác
CMR : $\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^4}{c+a} +\frac{c^4}{a+b} < 2(a^2b+b^2c+c^2a)$
2) Tìm GTLN
$5x^3-29x^2+39x+9$ với $x \epsilon \left [ 0;3 \right ]$


Mình xin được giải bài 2 nhé:

A= $5x^3-29x^2+39x+9$
A = $(5x^3-15x^2) - (14x^2-42x) - (3x-9)$
A = $(x-3)(5x^2-14x-3)$
A = $(x-3)[(5x^2-15x)+(x-3)]$
A = $(x-3)^2(5x+1)$
Vì $x \epsilon \left [ 0;3 \right ]$ nên $3-x \ge 0; 5x+1 \ge 0$. Nên ta có:

A = $(3-x)(3-x)(2x+\frac{2}{5}).\frac{5}{2} \leq \frac{5}{2}.(\frac{3-x+3-x+2x+\frac{2}{5}}{3})^3$

$(3-x)(3-x)(2x+\frac{2}{5}).\frac{5}{2} \leq \frac{5}{2}.\frac{32768}{3375}$

$(3-x)(3-x)(2x+\frac{2}{5}).\frac{5}{2} \leq \frac{16384}{675}$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 3-x = 2x + \frac{2}{5} \Leftrightarrow x = \frac{13}{15} (0\ge x \le 3)$


#299575 $x+y$ có chính phương không?

Gửi bởi ductai199x trong 15-02-2012 - 22:44

Cho x,y,zthuoc N, nguyên tố cùng nhau từng đôi một thỏa mãn 1/x+1/y=1/z. Hỏi x+y có phải là số chính phương ko?


Mình xin giải bài này nhé: :)

Ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{z}$
$xz+yz = xy$
$(x-z)(y-z) = z^2$

Đặt $z^2 \vdots d^2 \Rightarrow z \vdots d$

Do đó: $(x-z)(y-z) \vdots d^2 \Rightarrow (x-z) \vdots d$ mà $z \vdots d$ nên $x \vdots d$. Tương tự, $y \vdots d$ Mà $(x,y) = 1$. Suy ra $d=1$.

Vậy nếu $x-z = a^2, y-z = b^2 \Rightarrow a^2b^2=z^2 \Rightarrow ab = z$
$\Rightarrow x+y = (x-z)+(y-z)+2z = a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$
Từ đó, ta kết luận x+y là số chính phương :)


#299542 Chứng ming rằng: $$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\fr...

Gửi bởi ductai199x trong 15-02-2012 - 21:35

Cho 3 số dương a, b, c thỏa a2+b2+c2=1. Chứng ming rằng:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$
(Đề thi chọn đội tuyển lớp 9 Trần Đại Nghĩa - thi ngày 11/2/2012)
--------------------------------------
Chào bạn. Bạn là thành viên mới nên xem kĩ những nội dung sau:

$\to$ Nội quy diễn đàn Toán học

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán


Mình xin trả lời bài của bạn nhé:

Trong bài này, ta sử dụng 2 BĐT sau:

1. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}$ (1)

2. $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ (2)

Để chứng minh:

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{2}$ (*)

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1}\geq \frac{-9}{2}$ (**)

Thật vậy, ta có:

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3}$ (Sử dụng BĐT (1))

$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{9}{ab+bc+ca-3} \geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2-3}=\frac{9}{1-3}=\frac{9}{-2}$ (Sử dụng BĐT (2))

Vậy $\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1} \geq \frac{-9}{2}$ (**) đúng $\Rightarrow$ (*) đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c, a^2+b^2+c^2=1 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


#299137 ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG TRUNG HỌC THỰC HÀNH - ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Năm h...

Gửi bởi ductai199x trong 12-02-2012 - 20:59

Mình xin được giải bài 1, 2 và bài 3:

1a, Theo đề bài, ta có:
$x = \sqrt{4+\sqrt{7}} - \sqrt{4-\sqrt{7}}$
$x^2 = 4+\sqrt{7} + 4-\sqrt{7} - 2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$
$x^2 = 8 - 2\sqrt{16-7} = 8 - 2\sqrt{9} = 8 - 2.3 = 8 - 6 = 2 \leftrightarrow x = \sqrt{2}$

$y = \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}$
$y^2 = 2+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$y^2 = 4 - 2\sqrt{4 - 3} = 4 - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2 \leftrightarrow y = \sqrt{2}$

Vậy $x = y = \sqrt{2}$

1b, Theo đề bài, ta có:

$\sqrt{1-x} - \sqrt{x-2} = 1$
$1-x + x-2 - 2\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1$
$-2\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1+1$
$-\sqrt{(1-x)(x-2)} = 1$
$-x^2+3x-2 = 1$
$x^2-3x+3 = 0$
$x^2-2\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{4}$
$(x-\frac{3}{2})^2 = -\frac{3}{4}$. Vô lý vì $(x-\frac{3}{2})^2 > 0$ mà $-\frac{3}{4} < 0$.
$\leftrightarrow$ Vô nghiệm.

2a, Theo đề bài, ta có:
$x^2 - 2(m+4)x + (m^2-8) = 0$ (*)
$\delta = [2(m+4)]^2 - 4.1.(m^2-8)$
$\delta = 4(m^2+8m+16) - 4(m^2-8)$
$\delta = 4m^2+32m+64 - 4m^2+32$
$\delta = 32m+96$

Để (*) có nghiệm thì $\delta \ge 0 \Rightarrow 32m + 96 \ge 0$
$\Leftrightarrow 32(m+3) \ge 0$
$\Leftrightarrow m+3 \ge 0$
$\Leftrightarrow m \ge -3$. Vậy để (*) có nghiệm thì $m \ge -3$

2b, Sử dụng định lý Vi-ét, ta có:

x1.x2 = $m^2 - 8$
x1+x2 = $2(m+4) \Rightarrow m = \frac{1}{2}$(x1+x2 -8)
$\Rightarrow$ x1.x2 $= \frac{1}{4}$(x1+x2 -8)2 - 8. Đây là hệ thức cần tìm.

2c, Áp dụng vi-et trong biến đổi sau:
A = x1x2 - x12 + x22
= -x1x2 - (x1+x2)2
$= -(m^2 - 8) - 4(m+4)^2$
$= -5m^2 - 32m - 56$
$= -5(m^2 - 2.\frac{16}{5}.m + \frac{256}{25}) - \frac{24}{5}$
$= -5(m-\frac{16}{5})^2 - \frac{24}{5}$
Do $m ≥ - 3 \Rightarrow m - \frac{16}{5} \ge -\frac{31}{5} \Rightarrow A \le -5.-(\frac{31}{5})^2 - \frac{24}{5} = 187.4 $
Vậy Max $A= 187.4$, đạt được khi $m = -3$


3, Theo đề bài, ta có:

$n^{3} + {5}n$
= $n^{3} - n + {6}n$
= $n(n^2 - 1) + {6}n$
= $(n - 1)n(n+1) + {6}n$

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số là số chẵn. Và theo định lý đi-rích-lê, một số khi chia cho 3 có 3 kiểu dư: 0, 1, 2 mà 3 số n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một trong 3 số chia hết cho 3.

Lại có: (3, 2) = 1 => = $(n - 1)n(n+1) + {6}n$ chia hết cho 6 nên


$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$ với mọi n thuộc Z.




#299121 ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG TRUNG HỌC THỰC HÀNH - ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Năm h...

Gửi bởi ductai199x trong 12-02-2012 - 20:07

Mình xin tặng các bạn file pdf này nhé, ở đây có hầu hết tất cả các đề thi của các trường chuyên thành phố Hồ Chí Minh (không đáp án). Hi vọng các bạn thấy bổ ích :) :wub: :icon10:

File gửi kèm




#299059 Tìm $max$ của: $M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c...

Gửi bởi ductai199x trong 12-02-2012 - 14:43

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm $max$ của:
$M=\frac{a}{b^{2}+c^{2}+a}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+b}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c}$


Mình xin phép được giải bài này:

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2bc +\frac{1}{bc}}$ ($b^2+c^2 \ge 2bc$ - BĐT Cô Si và $a=\frac{1}{bc}$)

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2bc\frac{1}{bc}}}$

$\frac{a}{b^2+c^2+a} \leq \frac{a}{2\sqrt{2}}$ (1)

Tương tự:

$\frac{b}{c^2+a^2+b} \leq \frac{b}{2\sqrt{2}}$ (2)

$\frac{c}{a^2+b^2+c} \leq \frac{c}{2\sqrt{2}}$ (3)

Cộng (1), (2), (3), ta có:

$M \leq \frac{a+b+c}{\sqrt{8}}$ (*)

Mình xin lỗi ở đây, mình nghĩ rằng đề bài bạn cho thiếu vì:

Giả sử: $a = x; b = \frac{1}{x}; c = 1 \rightarrow abc = 1 \rightarrow a+b+c = \frac{x^2+x+1}{x}$. Vì $x \in R, x > 0$ nên $x$ càng lớn thì $a+b+c$ càng lớn $\rightarrow$ thay vào (*) $\rightarrow$ không tìm được max M. Bạn nên xem xét lại đề bài, có thể là thiếu $a+b+c = y (y \in R, y > 0)$.


#299044 $$\dfrac{a^9}{bc} + \dfrac{b^9}{ca} + \dfrac{c^9}{ab...

Gửi bởi ductai199x trong 12-02-2012 - 12:52

$(a^5+b^5+c^5+2)^2 \leq 5(a^{10}+b^{10}+c^{10}+2) $


Cho em hỏi bđt này là bunhiakopski hay là gì đấy ạ? Vì khi em làm bunhia, nó ra thế này:

$(a^5+b^5+c^5+2)^2=[(a^5+b^5+c^5).1+2.1]^2 \le [(a^5+b^5+c^5)^2+1^2](2^2+1^2)$
$(a^5+b^5+c^5+2)^2 \le [a^{10}+b^{10}+c^{10}+2(a^5b^5+b^5c^5+c^5+a^5)+1]5$


#298919 Giải phương trình: $x^{2}+4x = (x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4}$

Gửi bởi ductai199x trong 11-02-2012 - 14:26

Giải phương trình:
1) $x^{2}+4x = (x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4}$
2) $\sqrt[4]{2-x^{4}} = x^{2}-3x+1$
Mình cảm ơn trước...


Mình xin được giải câu 1 nhé:

1) $x^{2}+4x = (x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4}$

Theo đề bài, ta bình phương 2 vế:

$x^4+8x^3+16x^2 = (x+2)^2[(x+2)^2 - 6x]$
$x^4+8x^3+16x^2 = (x+2)^4 - 6x(x+2)^2$
$x^4+8x^3+16x^2 = (x^4+8x^3+24x^2+32x+16) - (6x^3+24x^2+12x)$
$x^4+8x^3+16x^2 = x^4+2x^3+20x+16$
$6x^3+16x^2-20x-16 = 0$
$3x^3+8x^2-10x-8 = 0$
$3x(x^2+4x+2) - 4(x^2+4x+2) = 0$
$(3x - 4)(x^2+4x+2) = 0$

$\Rightarrow$ TH1: $3x - 4 = 0$
$\Leftrightarrow x = \frac {4}{3}$

$\Rightarrow$ TH2: $x^2+4x+2 = 0$
$\Leftrightarrow (x^2+2.2.x+4) = 2$
$\Leftrightarrow (x+2)^2 = 2$
$\Leftrightarrow x = \sqrt{2} - 2$ hoặc $x = -\sqrt{2} - 2$