Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


ductai199x

Đăng ký: 07-02-2012
Offline Đăng nhập: 31-01-2013 - 08:00
****-

#298898 CM : $\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}$ đều là số hữu tỉ

Gửi bởi ductai199x trong 11-02-2012 - 02:01

1)Cho 3 số dương phân biệt a,b,c biết a,b,c và $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ đều là số hữu tỉ
CM : $\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}$ đều là số hữu tỉ
2) Tìm hệ số của hạng tử $x^8$ trong khai triển của
$A=(1+x^2 - x^3)^9$


Mình xin được giải bài 1:

Cho 3 số dương phân biệt a,b,c biết a,b,c và $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ đều là số hữu tỉ
CM : $\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}$ đều là số hữu tỉ

Ta có:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ = x với x là số hữu tỉ.
$\Leftrightarrow$ $ x - \sqrt{a} = \sqrt{b} + \sqrt{c}$
$\Leftrightarrow$ $ (x^2 + a - b - c) - 2x\sqrt{a} = 2\sqrt{bc}$ (bình phương, chuyển vế)
$\Leftrightarrow$ $ (x^2 + a - b - c)^2 + 4ax² - 4x(x^2 + a - b - c)\sqrt{a} = 4bc$
$\Leftrightarrow$ $ a = \frac{(x^2 + a - b - c)^2 + 4ax^2 - 4bc}{4x(x² + a - b - c)} =$ số hữu tỉ do a, b, c, x hữu tỉ
$\Rightarrow$ Tương tự (vai trò a, b, c như nhau) $\sqrt{b}$, $\sqrt{c}$ là số hữu tỉ



#298792 $(a+b+c)\left(\frac 1{a}+\frac 1{b}+\frac 1{c}\...

Gửi bởi ductai199x trong 09-02-2012 - 22:49

Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $(a+b+c)\left(\frac 1{a}+\frac 1{b}+\frac 1{c}\right)=10,$ thì
$(a) \ \ \ \frac {19}{12}\le \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\le \frac 5{3};$
$(b) \ \ \ \frac {69}{40}\le \frac {a^2}{b^2+c^2}+\frac {b^2}{c^2+a^2}+\frac {c^2}{a^2+b^2}\le \frac {12}{5}.$

By Vasc


Mình xin được giải bài của bạn như sau:

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này, tiện thể cung cấp thêm 1 bđt mới:

Giả thiết: a và b thuộc tập [1,2]:
$(a+b+c)(\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}) \le 10$ (*)

Giải:

$(a + b + c)(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c})$

= $\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {b}{a} + \frac {b}{c} + \frac {c}{a} + \frac {c}{b} \le 7$ (**)

Không giảm tính tổng quát, ta giả sử: $1 \le a \le b \le c \le 2$

=>$(a - b)(b - c) \ge 0$

<=>$ab + bc \ge b^2 + ac$ (***)

Chia 2 vế của (***) cho bc: $\frac {a}{c} + 1 \ge \frac {b}{c} + \frac {a}{b}$ (1)

Chia 2 vế của (***) cho ab: $\frac {c}{a} + 1 \ge \frac {b}{a} + \frac {b}{c}$ (2)

Lấy (1) + (2):
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} + \frac a{c} + \frac c{a} \le 2 + 2(\frac a{c} + \frac c{a})$ (3)

Do giả thiết: $1 \le a \le c \le 2$ nên $1 \le \frac c{a} \le 2$

=> $\frac c{a} - 2 \le 0$ và $\frac c{a} - \frac 1{2} \ge 0$

=> $(\frac c{a} - \frac 1{2})(\frac c{a} - 2) \le 0$

<=>$(\frac c{a})^2 - (\frac 5{2})(\frac c{a}) +1 \le 0$

<=>$\frac c{a} + 1 \le \frac 5{2}$

<=>$\frac c{a} + \frac a{c} \le \frac 5{2}$. Thay vào (3), ta có:

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 2 + 2(\frac 5{2})$

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 7$ => (**) đúng => (*) đúng

Dấu "=" xảy ra <=> khi $\frac c{a} = 2$ => c = 2; a = 1 (b = 1 hoặc b = 2)

Tức dấu "=" xảy ra: a = b = 1; c = 2 hoặc a = 1; b = c = 2 và các hoán vị.

Vậy thay vào các câu a và b, ta có điều phải chứng minh.

Tiện thể, mình có bài này cho bạn:

Giả thiết:


Cho a, b, c ∈ [1,2]. Chứng minh:


$(a + b + c)(\frac 1{a} + \frac 1{b} + \frac 1{c}) \le \frac {81}{8}$




#298764 Nung 2,23g hỗn hợp X gồm các kim loại Fe, Al, Zn, Mg ...

Gửi bởi ductai199x trong 09-02-2012 - 21:00

Nung 2,23 g hỗn hợp X gồm các kim loại Fe, Al, Zn, Mg trong oxi, sau một thời gian thu được 2,71 g hỗn hợp Y. Hòa tan hoàn toàn Y vào dd $HNO_{3}$ (dư), thu được 0,672 lít khí NO (sản phầm khử duy nhất, đktc). Số mol $HNO_{3}$ đã phản ứng là:
A. 0,12
B. 0,14
C. 0,16
D. 0,18


Mình xin mạn phép được giải bài của bạn:

Bài giải như sau:

mO2 = mY - mX = 2.71 - 2.23 = 0.48
O2 + 4e ---> 2O2-
0.015...0.06
nkl min = 2.23/65 = 223/6500
=> ne min kl nhường = 223/6500*2 = 0.068 > 0.06
=> Sau pứ kl dư, hhY gồm: oxit và kl dư.
4HNO3 + 3e ---> 3NO3- + NO + 2H2O
0.12.................................0.03…
=> Tổng nHNO3 đã pứ = nHNO3 pứ với kl dư + nHNO3 pứ acid (=2nO trog oxit) = 0.12 + 0.03*2 = 0.18
=> Chọn D



#298538 Giải phương trình $4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x...

Gửi bởi ductai199x trong 07-02-2012 - 23:08

giải phương trình sau:
$$4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^{2}}$$


Mình xin được giải bài này như sau:


Gọi $\sqrt{1 + x}$ là a.
$\sqrt{1 - x}$ là b.
=> Ta có:
$$4\sqrt{1 + x} - 1 = 3x + 2\sqrt{1 - x}+\sqrt{1 - x^{2}}$$
<=> $4a - 1$ = $3(a^2 - 1) + 2b + ab$
<=> $3a^2 - 2 + 2b + ab - 4a$ = 0
<=> $3a^2 - a^2 - b^2 + 2b + ab - 4a = 0$
<=> $2a^2 - b^2 + ab - 4a + 2b = 0$
<=> $(a + b - 2)(2a - b) = 0$

TH1: $a + b - 2 = 0$
<=> $a + b = 2$
<=> $\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} = 2$
<=> $(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})^2 = 4$
<=> $ 1 - x + 1 + x + 2\sqrt{1-x^2} = 4$
<=> $2\sqrt{1-x^2} = 2$
<=> $\sqrt{1-x^2} = 1$
<=> $1 - x^2 = 1$
<=> $x^2 = 0 <=> x = 0$

TH2: $2a - b = 0$
<=> $2a = b$
<=> $2\sqrt{1 + x} = \sqrt{1 - x}$
<=> $4 + 4x = 1 - x$
<=> $5x = -3$
<=> $x = -3/5$

Vậy 2 nghiệm là 0 và -3/5


#298525 Nếu $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ thì abc $\vdots $ 15

Gửi bởi ductai199x trong 07-02-2012 - 22:12

Mình xin được đáp bài này:

Bài toán:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$


Theo đề bài, ta có:

$n^{3} + {5}n$
= $n^{3} - n + {6}n$
= $n(n^2 - 1) + {6}n$
= $(n - 1)n(n+1) + {6}n$

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số là số chẵn. Và theo định lý đi-rích-lê, một số khi chia cho 3 có 3 kiểu dư: 0, 1, 2 mà 3 số n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một trong 3 số chia hết cho 3.

Lại có: (3, 2) = 1 => = $(n - 1)n(n+1) + {6}n$ chia hết cho 6 nên

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$ với mọi n thuộc Z.




#298516 Nếu $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ thì abc $\vdots $ 15

Gửi bởi ductai199x trong 07-02-2012 - 21:38

Cho mình mạn phép giải câu 1 nhé:

Giả thiết: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ; abc $\vdots$ 15

Ta có:
$c^{2}$ là số chính phương nên $c^{2}$ chia 3 dư 0 hoặc 1.

TH1: $c^{2}$ chia hết cho 3:

=> c chia hết cho 3=>abc chia hết cho 3. (1)

TH2: $c^{2}$ chia 3 dư 1:


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 3 dư 0, 1 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 3 dư 0,1.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 3 dư 1 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 3, $b^{2}$ chia 3 dư 1.
=> abc chia hết cho 3 vì a chia hết cho 3. (2)

$c^{2}$ là số chính phương nên $c^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4.


TH1: $c^{2}$ chia hết cho 5.

=> c chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5 (3)

TH2: $c^{2}$ chia 5 dư 1.


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 5 dư 0,1, 4.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 5 dư 1 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 5, $b^{2}$ chia 5 dư 1.
=> abc chia hết cho 5 vì a chia hết cho 5. (4)

TH3: $c^{2}$ chia 5 dư 4.


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 5 dư 0,1, 4.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 5 dư 4 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 5, $b^{2}$ chia 5 dư 4.
=> abc chia hết cho 5 vì a chia hết cho 5. (5)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) => abc chia hết cho 3 và 5 mà (3,5) = 1 nên abc chia hết cho 15.