ductai199x

1)Cho 3 số dương phân biệt a,b,c biết a,b,c và $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ đều là số hữu tỉ
CM : $\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}$ đều là số hữu tỉ
2) Tìm hệ số của hạng tử $x^8$ trong khai triển của
$A=(1+x^2 - x^3)^9$

Mình xin được giải bài 1:

Cho 3 số dương phân biệt a,b,c biết a,b,c và $(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$ đều là số hữu tỉ
CM : $\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}$ đều là số hữu tỉ

Ta có:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ = x với x là số hữu tỉ.
$\Leftrightarrow$ $ x - \sqrt{a} = \sqrt{b} + \sqrt{c}$
$\Leftrightarrow$ $ (x^2 + a - b - c) - 2x\sqrt{a} = 2\sqrt{bc}$ (bình phương, chuyển vế)
$\Leftrightarrow$ $ (x^2 + a - b - c)^2 + 4ax² - 4x(x^2 + a - b - c)\sqrt{a} = 4bc$
$\Leftrightarrow$ $ a = \frac{(x^2 + a - b - c)^2 + 4ax^2 - 4bc}{4x(x² + a - b - c)} =$ số hữu tỉ do a, b, c, x hữu tỉ
$\Rightarrow$ Tương tự (vai trò a, b, c như nhau) $\sqrt{b}$, $\sqrt{c}$ là số hữu tỉ

Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $(a+b+c)\left(\frac 1{a}+\frac 1{b}+\frac 1{c}\right)=10,$ thì
$(a) \ \ \ \frac {19}{12}\le \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\le \frac 5{3};$
$(b) \ \ \ \frac {69}{40}\le \frac {a^2}{b^2+c^2}+\frac {b^2}{c^2+a^2}+\frac {c^2}{a^2+b^2}\le \frac {12}{5}.$

By Vasc

Mình xin được giải bài của bạn như sau:

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này, tiện thể cung cấp thêm 1 bđt mới:

Giả thiết: a và b thuộc tập [1,2]:
$(a+b+c)(\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}) \le 10$ (*)

Giải:

$(a + b + c)(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c})$

= $\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {b}{a} + \frac {b}{c} + \frac {c}{a} + \frac {c}{b} \le 7$ (**)

Không giảm tính tổng quát, ta giả sử: $1 \le a \le b \le c \le 2$

=>$(a - b)(b - c) \ge 0$

<=>$ab + bc \ge b^2 + ac$ (***)

Chia 2 vế của (***) cho bc: $\frac {a}{c} + 1 \ge \frac {b}{c} + \frac {a}{b}$ (1)

Chia 2 vế của (***) cho ab: $\frac {c}{a} + 1 \ge \frac {b}{a} + \frac {b}{c}$ (2)

Lấy (1) + (2):
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} + \frac a{c} + \frac c{a} \le 2 + 2(\frac a{c} + \frac c{a})$ (3)

Do giả thiết: $1 \le a \le c \le 2$ nên $1 \le \frac c{a} \le 2$

=> $\frac c{a} - 2 \le 0$ và $\frac c{a} - \frac 1{2} \ge 0$

=> $(\frac c{a} - \frac 1{2})(\frac c{a} - 2) \le 0$

<=>$(\frac c{a})^2 - (\frac 5{2})(\frac c{a}) +1 \le 0$

<=>$\frac c{a} + 1 \le \frac 5{2}$

<=>$\frac c{a} + \frac a{c} \le \frac 5{2}$. Thay vào (3), ta có:

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 2 + 2(\frac 5{2})$

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 7$ => (**) đúng => (*) đúng

Dấu "=" xảy ra <=> khi $\frac c{a} = 2$ => c = 2; a = 1 (b = 1 hoặc b = 2)

Tức dấu "=" xảy ra: a = b = 1; c = 2 hoặc a = 1; b = c = 2 và các hoán vị.

Vậy thay vào các câu a và b, ta có điều phải chứng minh.

Tiện thể, mình có bài này cho bạn:

Giả thiết:

Cho a, b, c ∈ [1,2]. Chứng minh:

$(a + b + c)(\frac 1{a} + \frac 1{b} + \frac 1{c}) \le \frac {81}{8}$

Nung 2,23 g hỗn hợp X gồm các kim loại Fe, Al, Zn, Mg trong oxi, sau một thời gian thu được 2,71 g hỗn hợp Y. Hòa tan hoàn toàn Y vào dd $HNO_{3}$ (dư), thu được 0,672 lít khí NO (sản phầm khử duy nhất, đktc). Số mol $HNO_{3}$ đã phản ứng là:
A. 0,12
B. 0,14
C. 0,16
D. 0,18

Mình xin mạn phép được giải bài của bạn:

Bài giải như sau:

mO2 = mY - mX = 2.71 - 2.23 = 0.48
O2 + 4e ---> 2O2-
0.015...0.06
nkl min = 2.23/65 = 223/6500
=> ne min kl nhường = 223/6500*2 = 0.068 > 0.06
=> Sau pứ kl dư, hhY gồm: oxit và kl dư.
4HNO3 + 3e ---> 3NO3- + NO + 2H2O
0.12.................................0.03…
=> Tổng nHNO3 đã pứ = nHNO3 pứ với kl dư + nHNO3 pứ acid (=2nO trog oxit) = 0.12 + 0.03*2 = 0.18
=> Chọn D

giải phương trình sau:
$$4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^{2}}$$

Mình xin được giải bài này như sau:


Gọi $\sqrt{1 + x}$ là a.
$\sqrt{1 - x}$ là b.
=> Ta có:
$$4\sqrt{1 + x} - 1 = 3x + 2\sqrt{1 - x}+\sqrt{1 - x^{2}}$$
<=> $4a - 1$ = $3(a^2 - 1) + 2b + ab$
<=> $3a^2 - 2 + 2b + ab - 4a$ = 0
<=> $3a^2 - a^2 - b^2 + 2b + ab - 4a = 0$
<=> $2a^2 - b^2 + ab - 4a + 2b = 0$
<=> $(a + b - 2)(2a - b) = 0$

TH1: $a + b - 2 = 0$
<=> $a + b = 2$
<=> $\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} = 2$
<=> $(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})^2 = 4$
<=> $ 1 - x + 1 + x + 2\sqrt{1-x^2} = 4$
<=> $2\sqrt{1-x^2} = 2$
<=> $\sqrt{1-x^2} = 1$
<=> $1 - x^2 = 1$
<=> $x^2 = 0 <=> x = 0$

TH2: $2a - b = 0$
<=> $2a = b$
<=> $2\sqrt{1 + x} = \sqrt{1 - x}$
<=> $4 + 4x = 1 - x$
<=> $5x = -3$
<=> $x = -3/5$

Vậy 2 nghiệm là 0 và -3/5

Mình xin được đáp bài này:

Bài toán:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$

Theo đề bài, ta có:

$n^{3} + {5}n$
= $n^{3} - n + {6}n$
= $n(n^2 - 1) + {6}n$
= $(n - 1)n(n+1) + {6}n$

Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số là số chẵn. Và theo định lý đi-rích-lê, một số khi chia cho 3 có 3 kiểu dư: 0, 1, 2 mà 3 số n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn có một trong 3 số chia hết cho 3.

Lại có: (3, 2) = 1 => = $(n - 1)n(n+1) + {6}n$ chia hết cho 6 nên

$$n^3+5n$$ chia hết cho $6$ với mọi n thuộc Z.

Cho mình mạn phép giải câu 1 nhé:

Giả thiết: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ; abc $\vdots$ 15

Ta có:
$c^{2}$ là số chính phương nên $c^{2}$ chia 3 dư 0 hoặc 1.

TH1: $c^{2}$ chia hết cho 3:

=> c chia hết cho 3=>abc chia hết cho 3. (1)

TH2: $c^{2}$ chia 3 dư 1:


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 3 dư 0, 1 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 3 dư 0,1.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 3 dư 1 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 3, $b^{2}$ chia 3 dư 1.
=> abc chia hết cho 3 vì a chia hết cho 3. (2)

$c^{2}$ là số chính phương nên $c^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4.


TH1: $c^{2}$ chia hết cho 5.

=> c chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5 (3)

TH2: $c^{2}$ chia 5 dư 1.


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 5 dư 0,1, 4.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 5 dư 1 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 5, $b^{2}$ chia 5 dư 1.
=> abc chia hết cho 5 vì a chia hết cho 5. (4)

TH3: $c^{2}$ chia 5 dư 4.


Vì $a^{2}$ là số chính phương nên $a^{2}$ chia 5 dư 0, 1, 4 và $b^{2}$ là số chính phương nên chia 5 dư 0,1, 4.
Mà $a^{2} + b^{2}$ chia 5 dư 4 nên không mất tính tổng quát, giả sử: $a^{2}$ chia hết cho 5, $b^{2}$ chia 5 dư 4.
=> abc chia hết cho 5 vì a chia hết cho 5. (5)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) => abc chia hết cho 3 và 5 mà (3,5) = 1 nên abc chia hết cho 15.