anh892007

Làm cách nào ra được vậy bạn

Ra cái j hả bạn?

 

2) Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1 ; a²+b²+c²=1 và a³+b³+c³=1.

Tính tích abc

 

Có hệ thức này:

$a^3+b^3+c^3 -3abc =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$  (Các bạn tự chứng minh nhé)

Như vậy:

$6abc = 2(a^3+b^3+c^3)- (a+b+c)[3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2]$

Như vậy theo đề bài thì $abc=0$

2 câu trên mk nghĩ ổn rồi đấy

Tiếp câu c. Do x>3

$M=x+5+\frac{25}{x-3}=x-3+\frac{25}{x-3}+8\geq 2\sqrt{(x-3).\frac{25}{x-3}}+8=2.5+8=18\Rightarrow Min M=18\Leftrightarrow x-3=\frac{25}{x-3}\Leftrightarrow (x-3)^2=25\Leftrightarrow x\in \left \{ -2;8 \right \}(t/m)$

Sai rồi bạn ơi,$x=8$ thôi chứ

Ta có $(x-8)^2 \geq 0$

Hay:

$x^2+2x+10 \geq 18x-54 = 18(x-3)$

Do $x >3$ nên MinM= 18 khi $x=8$

$x^{4}+5x^{3}-14x^{2}-20x+16 = 0$ (*)

Thấy $x=0$ ko là nghiệm của pt

Nên chia cả 2 vế pt(*) cho $x^2$ 

được pt:

$x^2 +5x-14-\frac{20}{x}+\frac{16}{x^2}=0$

Đặt $x-\frac{4}{x} =t$ được $x^2+\frac{16}{x^2} =t^2+8$

Pt đã cho trở thành:

$t^2+8-14+5t =0 $

$\Leftrightarrow t^2+5t-6 =0 $

$\Leftrightarrow (t-1)(t+6)=0$

Từ đây giải tiếp 2 pt bậc 2 tìm nghiệm của x thôi ^^

 

 

pt $\Leftrightarrow (\sqrt{x+1})^3+(\sqrt{x+1})+\sqrt{x+1}=(2x-3)^3+(2x-3)^2+(2x-3)$

 

 

Đâu ra được cái hệ thức này hả bạn?

Mà nghiệm $ x=2$ ko đúng nhé,thử lại pt đầu đi,sai rồi nhé

Ta có: $y^{2}=\frac{20412-5x^{2}}{8}$

Để y nguyên thì $\frac{20412-5x^{2}}{8}$ nguyên => $20412-5x^{2}\vdots 8$

suy ra 20412 và $5x^{2}$ có cùng số dư khi chia cho 8

Mặt khác 20412 chia 8 dư 4

Suy ra $5x^{2}$ phải chia 8 dư 4

Ta lại có $x^{2}$ chia 8 dư 0;1;4 nên $5x^{2}$ chia 8 dư 0;5

Vậy không có cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đề bài

Sai rồi bạn, $5x^2$ chia cho 8 vẫn dư 0,4,5 chứ

Lời giải:

Trước tiên ta có bổ đề: Nếu $x$,$y$ là $2$ số nguyên thỏa mãn :

$x^2+y^2 \vdots 3 $ thì $x$ ,$y$ $ \vdots 3 $ (Bổ đề này dễ,các bạn tự chứng minh nhé)

-Phương trình đã cho tương đương với:

$6x^2+ 9y^2 -(x^2+y^2) = 20412$

Do $ 20412 \vdots 3$ nên $ x^2+y^2 \vdots 3 $

Theo bổ đề trên thì $x,y \vdots 3 $ 

Đặt $x= 3x_1$ và $y= 3y_1$

-Pt đã cho trở thành :

$5x_1^{2} +8y_1^ {2} =2268$

Tương tự lại thấy $ 2268 \vdots 3 $

Nên $x_1$,$y_1$ $ \vdots 3 $

Đặt $x_1 = 3x_2$ và $y_1=3y_2$

-Pt đã cho trở thành: 

$5x_2^{2} +8y_2^{2} = 252 $

Tương tự lại thấy $252 \vdots 3 $

Nên $x_2$,$y_2$ $ \vdots 3 $

Lại đặt $x_2 = 3x_3$ và $y_2=3y_3$

-Pt đã cho trở thành:

$5x_3^{2} +8y_3^{2} = 28 $  (*)

Từ đây ta thấy $-1 \leq y_3 \leq 1$

Thử được ta có:

$(x_3,y_3) = (-2;-1);(-2;1);(2;-1);(2;1)$

 là nghiệm của pt (*)

Và với $x=27x_3$, $y=27y_3$

Thì pt đã cho có nghiệm:

$(x,y)=(-54,-27);(-54;27);(54;-27);(54;27)$

Áp dụng BĐT Shur thì hơi quá với học sinh cấp 2

Lời giải:

 

Ta có hệ thức này:

$a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)$ (Cái này chứng minh rất dễ)

Nên:

$a^3+b^3+c^3 = 3abc+ 1-3(ab+bc+ca)$ (Do $a+b+c =1$)

Mặt khác ta có các bất đẳng thức: 

$a^3+b^3 \geq ab(a+b)$

$b^3+ c^3 \geq bc(b+c)$

$c^3+a^3 \geq ca(c+a)$

Như vậy: $a^3+b^3+c^3 + \frac{3abc}{2} \geq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{2} = \frac{ab+bc+ca}{2}$ (Do $a+b+c =1$)

Nên $3abc+ 1-3(ab+bc+ca)+ \frac{3abc}{2} \geq \frac{ab+bc+ca}{2}$

Hay $ 9abc+ 2 \geq 7(ab+bc+ca)$ (ĐPCM)

Lời giải của mình có vấn đề đó ,chết thật,ko chú ý @@

$2-\frac{1}{t^2} $ chưa chắc $ \leq 0$

Phải xét trường hợp rồi @@!

sr sr

Nếu $3 \geq t \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thì P{t} đồng biến trên $[\frac{1}{\sqrt{2}} ;\infty]$

Nên $P(t) \geq P(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2\sqrt{2} $

Còn trường hợp $ 0<t<\frac{1}{\sqrt{2}} $ thì như trên

Tìm các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn đồng thời:

$ab+c+d=3  (1)\\bc+d+a=5 (2)\\cd+a+b=2 (3)\\da+b+c=6 (4)$.

-Lấy $(1) -(2)$ và $(3) -(4)$ được:

$(1-b)(c-a) =-2$ và $(d-1)(c-a) = -4 $

Rõ ràng $a \ne c$ và $ b,d \ne 1$

Như vậy: $2(1-b)=d-1$

Hay  $2b+d =3$ (5)

- Lấy $(1) -(4)$ và $(2) -(3)$ được:

$(a-1)(b-d) = -3$ và $(c-1)(b-d) =3$

Rõ ràng $b \ne d$ và $a,c \ne 1$

Như vậy $a-1= 1-c$ hay $ a+c =2 $ (6)

-Mặt khác lấy $(1) + (3) -(2) -(4)$ ta được:

$(c-a)(b-d) =6$

Kết hợp $ (5)$ và $(6)$ ta được:

$(b-1)(c-1) =1$

Hay $ bc=b+c$

Thế vào $(2)$ ta được:

$a+b+c+d =5$

Mà cộng $(5)$ với $(6)$ ta được :

$ a+2b+c+d =5$

Nên $b=0$ suy ra $d=3$

Tứ $(1)$ suy ra $c=0$ và $a=2$

Vậy$ a= 2,b=c=0,d=3$

 Dễ dàng thấy$ab+bc+ca \leq 3$

Đặt $t=ab+bc+ca$,như vậy $ t \leq 3$

$P(t) = 2t+ \frac{1}{t}$

$P'(t)=2-\frac{1}{t^2} <0$ (Do $t \leq 3$ )

Nên $P(t)$ nghịch biến

Nên $P(t) \geq P(3) = 6+\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$

Vậy $ MinP =\frac{19}{3} $

$ \Leftrightarrow a=b=c=1 $

Bài T5/465 

 

Giải phương trình 

$\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$   (1)

 

ĐK: $\frac{-1}{2} < x < \frac{1}{2}$

Ta có:$ \frac{1}{\sqrt{2x+1}}+\frac{1}{\sqrt{1-2x}} \geq \frac{2}{\sqrt[4]{(1+2x)(1-2x)}} \geq 2 $

(Do $(1-2x)(1+2x) \leq \frac{(1-2x+1+2x)^2}{4} =1$ )

Và $\frac{1}{\sqrt{x+1}} >\sqrt{\frac{2}{3}}$ (Do $x<\frac{1}{2}$ )

Nên   $ VT(1) >2+\sqrt{\frac{2}{3}}>3\sqrt{\frac{2}{5}}+\sqrt{\frac{2}{5}}=4\frac{\sqrt{10}}{5}$

(Do $ 2 >3\sqrt{\frac{2}{5}}$ và $ \sqrt{\frac{2}{3}} > \sqrt{\frac{2}{5}}$ )

Nên pt đã cho Vô Nghiệm

Em chào các anh,em cũng rất muốn quay lại học Toán,em 26 tuổi

Em học xong bưu chính viễn thông rồi,cũng đi làm rồi,cũng muốn quay lại học toán,bởi hồi học đại học em cũng rất hứng thú với toán,cũng đã đi thi olympic sinh viên 2 năm cả đại số và giải tích,đúng là càng về già con người càng thích toán hơn!

Em xem cuộc nói chuyện của các anh thì các anh cho em hỏi là bây giờ em muốn quay lại học toán thì em cũng đi học VB2 rồi cũng thử apply liệu có được không ạ?những cái mà ra nước ngoài học em chưa ko biết rõ lắm,các anh có thể bảo em được ko ạ?

Em cám ơn ạ !

Cho a,b,c là các số thực dương và $a^2+b^2+c^2=1$.
Chứng minh rằng
$$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{b^2+a^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$

Ta có $$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{b^2+a^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$ tương đương với:
$ \frac{a^{2}}{a(1-a^{2})}$ + $\frac{b^{2}}{b(1-b^{2})}$ + $\frac{c^{2}}{c(1-c^{2})}$ $\geq$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ Ta có:
a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=1$ nên 0<a,b,c<1
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{1}{x(1-x^{2})}$ $\geq$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
tương đương với:
$x(1-x^2) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$ (1)
Ta có:$x^{2}(1-x^{2})^{2}=\frac{1}{2}.2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2}) \leq \frac{1}{2}(\frac{2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2}}{3})^{3}=\frac{4}{27}$
Nên (1) đúng
Suy ra $ \frac{a^{2}}{a(1-a^{2})}$ + $\frac{b^{2}}{b(1-b^{2})}$ + $\frac{c^{2}}{c(1-c^{2})}$ $\geq$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $(a^2+b^2+c^2)$= $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
(ĐPCM)

Bài 4: Cho a,b$\geq$0 thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$. Chứng minh rằng:
$ab(a+b)^{2}\leq \frac{1}{64}$

Bài này thì ta có:
$ a+b+2\sqrt{ab}=1 $
Ta có $ ((a+b) +2\sqrt{ab})^{2} \geq 8(a+b).\sqrt{ab} $ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $ a=b=\frac{1}{4} $
Hay $ (a+b).\sqrt{ab} \leq \frac{1}{8} $
tương đương với:
$ ab.(a+b)^{2} \leq \frac{1}{64}$ (ĐPCM)