trankimtoan1975

tìm tất cả các số tự nhiên để n.4ⁿ + 3ⁿ là số nguyên tố

A = n.2ⁿ+3ⁿ chia hết cho 25 thì A chia hết cho 5. Vấn đề này khó.

Xét n = 2k => A =  2k.2^2k + 3^2k = (2k+1).2^2k + 3^2k - 2^2k = (2k+1).2^2k + 5p (vì 3^2k - 2^2k luôn có tận cùng bằng 5)

Mà (2^2k; 5) = 1 nên 2k+1 chia hết cho 5 <=> 2k = 5m + 4 ( m chẵn) => k = 5t + 2 (t = m:k) suy ra n = 10t + 4

Xét tiếp n = 2k + 1, lập luận tương tự ( lưu ý  2^2k+1-3^2k+1 cũng chia hết cho 5 nhé) suy ra n = 10t + 1

Bây giờ xét n = 10t + 1 và n = 10t + 4

 (nói chung là dài và khó. Bạn tìm và tham khảo tiếp)

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. CM: KC/KB = (AC²+BC²-BA²)/(CB²+BA²-AC²)

Cho $x^{2}+y = y^{2}+x$. Tính giá trị biểu thức $P = \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{xy-1}$

Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 

 $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

Ta có

$A^{2}=x^{2}(3+y)+y^{2}(3+x)+2xy\sqrt{(3+x)(3+y)}\geq 3(x^{2}+y^{2})+xy(x+y)=3(x^{2}+y^{2})+2012xy\geq 3(x+y)^{2}=3.2012^{2}$

$\Rightarrow A\geq 2012\sqrt{3}$

Cho A = $x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}$; với $x\geq 0; y\geq 0$ và x + y = 2012.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A?

cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y=1.tìm gtnn của:$b=(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})$

P = $\frac{(x^{2}-1)(y^{2}-1)}{x^{2}y^{2}}$

P.x²y² = x²y² - (x² + y²) +1 = x²y² - (1- 2xy) + 1 = x²y²  + 2xy

P = 1 + $\frac{2}{xy}$

P nhỏ nhất khi xy lớn nhất.

Mà x + y = 1 không đổi nên xy lớn nhất khi x = y = 0.5

Vậy GTNN của P là 9 tại x = y = 0.5

Cho n $\in$N^*, a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + b)ⁿ < 2ⁿ(aⁿ + bⁿ)

1. Cho dãy số $2; -5; 8; -11; 14; …$

Số hạng thứ $100$ của dãy là ?

2. Tính tổng $A = a + b + c$ biết $(-5a^2b^4c^6)^7 - (9a^3bc^5)^8=0$.

Tính $A$?

3. Cho $n$ là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 10. Số các giá trị của $n$ thỏa mãn $(\frac{1}{5})^n .$ $(\frac{-1}{5}^n)$ = $(\frac{1}{5})^{2n}$ là ?

4. Số các giá trị nguyên của $x$ để A=|x + $\frac{1}{2}$|$ + $|$\frac{9}{4}$+ x| đạt giá trị nhỏ nhất là?

5. Cho $P_n = (-1) . (-1)^2 . (-1)^3 ..... (-1)^n$

Khi đó: $P_{2013} + P_{2014} = ?$ 

1, Số cuối = số đầu + giá trị khoảng cách x (Số chữ số -1)

Trong trường hợp này ta có số cần tìm là 2+ 3x99 = 299. Để ý quy luật âm dương ta có kết quả -299

2, Theo giả thiết, lũy  thừa của a, b, c là bậc chẵn, (-5)⁷ khác 9⁸ vậy chỉ xảy ra trường hợp a = b = c = 0 nên A = 0

3, n = 0; 2; 4; 6; 8

4, có hai giá trị là -2 và -1

5, P(2013) +P(2014) = -2

$\frac{x^{2}-4x+1}{x+1}+2=-\frac{x^{2}-5x+1}{2x+1}$

Áp dụng BĐT Cosi: $\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}+\frac{c+2b}{9abc}\geq \sqrt{\frac{bc(c+2ab)}{a^{3}bc(c+2a)a.9}}=\frac{2}{3a^{2}}$
=>
$\frac{bc}{a^{3}(c+2b)}\geq \frac{2}{3a^{2}}-\frac{c+2b}{9abc}$
Tương tự:
$\frac{ac}{a^{3}(a+2c)}\geq \frac{2}{3b^{2}}-\frac{a+2c}{9abc}$
$\frac{ab}{c^{3}(b+2a)}\geq \frac{2}{3c^{2}}-\frac{b+2a}{9abc}$
Do đó VT $\geq \frac{2}{3}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})-\frac{a+b+c}{3abc}$
Mặt khác lại có:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}$
Vậy VT$\geq \frac{a+b+c}{3abc}=2$