nth1235

Vì $a,b,c\in (0,1)$ nên :
$VT< \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{a+b+c}{3}+\frac{1-a+1-b+1-c}{3}= 1$

Thêm một cách khác :
Vì $a,b,c$ thuộc $(0;1)$ nên :
$VT < \sqrt{bc} + \sqrt{(1 - b)(1 - c)} \leq 1$ (BĐT Cauchy - Schwarz) (Q.E.D)

Đã xong!!!Chém luôn bài này:
Theo giả thiết,ta có: $\angle IAM=\angle EBM$.
Mà $\angle EBM=\angle MAC$(2 góc nội tiếp chắn cung DC)
$=>\angle MAC+\angle IAM=\angle EBM+\angle BME=> \angle IAC=\angle MED$
Mặt khác $\angle EDM=\angle ACI$ $=> \Delta EMD$ đồng dạng $\Delta AIC$(gg)
$=> ME.IC=MD.AI$
Mặt khác,ta có:
$\angle FMD=\angle AME=\angle AMB+\angle BME=\angle AMB+\angle IAM=\angle AIB$
$\angle MDF=\angle ABI$(2 góc nội tiếp chắn cung AC)
$=> \Delta FMD$ đồng dạng $\Delta AIB$(gg)
$=>MF.IB=MD.AI$$=> MF.IB=AI.MD=ME.IC=>MF=ME$$(IB=IC)$=> M là trung điểm EF(Q.E.D)

Giả thiết cho IAM = BME mà bạn. Bạn làm đúng rồi nhưng sửa lại chỗ đó đi.

1.2$a^{3}-3a^{2}+3a-1+5a-8=0\Leftrightarrow (a-1)^{3}+5a-8=0$
$b^{3}-6b^{2}+12b-8+5b-7=0\Leftrightarrow (b-2)^{3}+5b-7=0$
Cộng 2 vế :$(a-1)^{3}+(b-2)^{3}+5(a+b-3)=0$
$\Leftrightarrow (a+b-3)[(a-1)^{2}-(a-1)(b-2)+(b-2)^{2}]+5(a+b-3)=0$
$\Leftrightarrow (a+b-3)(...)=0$ $\Leftrightarrow a+b=3$

Chém luôn câu dễ nhất:
1.1 $(x-1)^{2}=2-x\sqrt{x-\frac{1}{x}}\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=2-x\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ($x\neq 0$;$x\geq 1$)
Chia 2 vế cho $x$,chuyển vế,ta được:
$(x-\frac{1}{x})+\sqrt{x-\frac{1}{x}}-2=0$
$\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-x-1$
$\Leftrightarrow x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
$\Leftrightarrow x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Sửa lại chỗ dk di. Theo mình nghĩ bạn nên để nguyên như vậy rồi thử lại nghiệm thì đỡ vất vả hơn là tìm dk.

Bạn nói rõ nghiện nào được k?
Pt mình giải còn 1 nghiệm nữa nhưng âm nên loại

Thì đó là nghiệm đó $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ đó. Mình nghĩ cái chỗ điều kiện của $x$ bạn làm sai đó. Vì khi mình thay $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ vào thi phương trình vẫn thỏa mãn mà.

1.2$a^{3}-3a^{2}+3a-1+5a-8=0\Leftrightarrow (a-1)^{3}+5a-8=0$
$b^{3}-6b^{2}+12b-8+5b-7=0\Leftrightarrow (b-2)^{3}+5b-7=0$
Cộng 2 vế :$(a-1)^{3}+(b-2)^{3}+5(a+b-3)=0$
$\Leftrightarrow (a+b-3)[(a-1)^{2}-(a-1)(b-2)+(b-2)^{2}]+5(a+b-3)=0$
$\Leftrightarrow (a+b-3)(...)=0$ $\Leftrightarrow a+b=3$

Chém luôn câu dễ nhất:
1.1 $(x-1)^{2}=2-x\sqrt{x-\frac{1}{x}}\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=2-x\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ ($x\neq 0$;$x\geq 1$)
Chia 2 vế cho $x$,chuyển vế,ta được:
$(x-\frac{1}{x})+\sqrt{x-\frac{1}{x}}-2=0$
$\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1$
$\Leftrightarrow x^{2}-x-1$
$\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Thiếu nghiệm rồi Thịnh ơi. Còn một nghiệm nữa thử lại vẫn đúng mà.

Tìm số nguyên dương $A$ biết $A - 38 ; A + 51$ là các số chính phương.

Giải như sau :
ĐK : $x \geq 1$ hoặc $x \leq 1$ ; $ x \neq 0$
Phương trình cần giải tương đương với :
$\frac{x - 1}{x} + \sqrt{\frac{x - 1}{x}} - \sqrt{\frac{(x - 1)(x + 1)}{x}} = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x - 1}{x}}( \sqrt{\frac{x - 1}{x}} + 1 - \sqrt{x + 1}) = 0$
Xét hai TH :
TH1 : $ \sqrt{\frac{x - 1}{x}}=0 \Leftrightarrow x = 1 (TĐK)$
TH2 : $ \sqrt{\frac{x - 1}{x}} + 1 - \sqrt{x + 1} = 0$ (Dành cho các bạn)
$\Leftrightarrow x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Vậy phương trình có hai nghiệm $x =-1$ hoặc $x =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Giải như sau :
Với $a, b , c > \frac{9}{4}$, ta có :
Áp dụng BĐT AM - GM cho hai số dương $\frac{a}{2\sqrt{b} - 3} ; 2\sqrt{b} - 3$, ta có :
$\frac{a}{2\sqrt{b} - 3} + 2\sqrt{b} - 3 \geq 2\sqrt{a}$
Xây dựng các BĐT tương tự, cộng lại suy ra $Q \geq 12$
Vậy Min Q = 12 $\Leftrightarrow a = b = c = 4$

Bài này mình xét đồng dư theo mod 6 cũng được đấy.

Có hay không số nguyên dương $n$ sao cho $(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + ... + (n + 8)^2 + (n + 9)^2= S^2$
với $S$ là số nguyên dương.

Mình thử cách này thôi nhé, không biết đúng hay ko.
ĐK : $x \geq -1$
Khi đó : $\sqrt[4]{x^2 + x + 2} + \sqrt{x + 1} \geq \sqrt[4]{2}$
Vậy để phương trình có nghiệm thì :
$m \geq \sqrt[4]{2}$
PS : Mình sửa lại rồi Việt ơi, nãy lộn một tí.

Em chém bài 4 nhé anh.
Ta có :
$a^3b + b^3c + c^3a \geq a + b + c$ (1)
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b} \geq a + b + c$
Điều trên đúng vì theo AM - GM thì :
$\frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b} + a + b + c \geq 2(a + b + c)$
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b} \geq a + b + c$
Suy ra BĐT (1) đã được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$

Giải như sau :
Xét hiệu :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a - b - c - d$, ta có
$a^2 - a = a(a - 1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Tương tự, $b^2 - b ; c^2 - c; d^2 - d$ chia hết cho 2
$\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a - b - c - d$ chia hết cho 2.
Mà $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ chia hết cho 2 ( Do $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$)
Suy ra $ a + b + c + d$ chia hết cho 2.
Mà $a , b , c , d$ nguyên dương nên $a + b + c + d > 2$
Do đó, $a + b + c + d$ là hợp số.

Trong một bài giải cần phải hoàn chỉnh đến từng chi tiết. Người ta chấm là chấm cách giải chứ ko phải chấm ý tưởng của mình. Cho dù bạn có ý tưởng đúng nhưng nếu xét thiếu TH thì loạng quạng là bị gạch bài chứ chẳng chơi đâu.

Giải như sau :
Với x khác -1, ta có :
$B = x - x^2 + x^3 - x^4 + ... +{x}^{2011} = \frac{(x + 1)({x}^{2011} - {x}^{2010} + ... - x^2 + x -1) + (x + 1)}{x + 1}$
$ = \frac{{x}^{2012} - 1 + x + 1}{x + 1} = \frac{{x}^{2012} + x}{x + 1}$
Thay $x = 4$, ta có :
$ B = \frac{{4}^{2012} + 4}{5}$
$\Leftrightarrow 5B = {4}^{2012} + 4$
Vậy tại $ x =4, 5B = {4}^{2012} + 4$