nth1235

Cho $x , y, z$ là các số thực dương.
Tìm Min của :
$ A = \sqrt{\frac{x}{y + z}} + \sqrt{\frac{y}{x + z}} + \sqrt{\frac{z}{x + y}}$

Không hẳn đề bài cho lúc nào biệt thức delta cũng là số chính phương mà ta phải lý luận rằng vì x, y nguyên nên biệt thức delta sẽ phải là một bình phương đúng. Trong những bài tập tương tự như bài trên, delta ko phải lúc nào cũng có dạng một bình phương đúng thấy rõ như trên. Do đó chúng ta phải tìm x hoặc y thỏa mãn delta là một bình phương đúng, sau đó thử lại nghiệm.

Đặt $ t = x - 7$. Ta có phương trình :
$ t - {t}^{11} = 0$
$\Leftrightarrow t({t}^{10} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow t(t^5 - 1)(t^5 + 1) = 0$
$\Leftrightarrow t(t - 1)(t^4 + t^3 + t^2 + t +1)(t^5 + 1) = 0$
Ta có 4 trường hợp xảy ra :
TH1 : $t = 0$
$\Leftrightarrow x - 7 = 0$
$\Leftrightarrow x = 7$
TH2 : $ t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow t = 1$
$\Leftrightarrow x - 7 = 1$
$\Leftrightarrow x = 8$
TH3 : $ t^4 + t^3 + t^2 + t +1 = 0$
Ta có :
$ t^4 + t^3 + t^2 + t +1$
= $(t^4 + t^3 + \frac{1}{4}t^2) + (\frac{3}{4}t^2 + t + 1)$
= $t^2(t^2 + 2.t.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4}t^2 + 2. \frac{\sqrt{3}}{2}.t.\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$
= $t^2(t + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}.t + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + \frac{2}{3} > 0$
Suy ra phương trình $ t^4 + t^3 + t^2 + t +1 = 0$ vô nghiệm.
TH4 : $t^5 + 1 = 0$
$\Leftrightarrow t^5 = -1$
$\Leftrightarrow t = -1$
$\Leftrightarrow x - 7 = -1$
$\Leftrightarrow x = 6$
Vậy phương trình có nghiệm $ x = 6 ; 7 ; 8$
Và đây là phần mở rộng :
Xét phương trình tổng quát có dạng :
$t^k - t= 0$ với $t$ là số thực, $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1, ta có :
$t^k - t = 0$
$\Leftrightarrow t({t}^{k - 1} - 1) = 0$
Nếu $ t = 0 $, phương trình có nghiệm duy nhất $t = 0$.
Nếu $ t \neq 0$, ta có :
$ t({t}^{k - 1} - 1) = 0$
$\Leftrightarrow {t}^{k - 1} - 1 = 0$
$\Leftrightarrow {t}^{k - 1} = 1$
Nếu $k$ lẻ, thì $k - 1$ chẵn.
Suy ra phương trình ${t}^{k - 1} = 1$ có hai nghiệm phân biệt :
$t = 1$ hoặc $t = -1$.
Nếu $k$ chẵn, thì $k - 1$ lẻ.
Suy ra phương trình ${t}^{k - 1} = 1$ có nghiệm duy nhất :
$t = 1$
Vậy :
Nếu $t = 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $t = 0$.
Nếu $t \neq 0$, với $k$ lẻ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $t = 1$ hoặc $t = -1$.
Nếu $t \neq 0$, với $k$ chẵn thì phương trình có nghiệm duy nhất $t = 1$
Ps : Sao đề lần này hiền vậy bác ????

D-B=9.7h
E=10
F=1 * 10=10
S=78.3

Bài 3 theo mình có thể tham khảo ở đây :
http://diendantoanho...showtopic=69658

Câu 1 dễ mà bác. Bạn sẽ mũ 3 lên và sử dụng hằng đẳng thức ${(a + b)}^{3} = {a}^{3} + {b}^{3} + 3ab(a + b)$
Với a bằng căn đầu tiên, b bằng cái căn ở đằng sau thôi. Chú ý rằng chỗ nào có a + b thì thay bằng $x$.
Giải phương trình bậc 3 thôi. Mấy bài này thường thì phân tích ra sẽ được một cái nhân tử bằng 0, là số nguyên. Nhân tử còn lại sẽ là một tam thức bậc 2 vô nghiệm.
Sau đó thay x, y vào thôi.

Mình chém cách 2 nhé :
Ta có :
Vì ${x}^{2} ; {y}^{2}$ đều là những số chính phương nên chia 4 dư 0;1
$\Rightarrow {x}^{2} + {y}^{2}$ chia 4 dư 0 ; 1 ; 2.
Mà 2012 chia hết cho 4.
Suy ra $ {x}^{2} ; {y}^{2}$ chia hết cho 4.
Hay $x , y$ chẵn.
Khi đó, $x ; y$ có dạng $x = 2m ; y = 2n$
Thay vào phương trình, ta có :
$4{m}^{2} + 4{n}^{2} = 2012 $
$\Leftrightarrow {m}^{2} + {n}^{2} = 503$

Vì ${m}^{2} ; {n}^{2}$ đều là những số chính phương nên chia 4 dư 0;1
$\Rightarrow {m}^{2} + {n}^{2}$ = VT chia 4 dư 0 ; 1 ; 2.
Mà $ VP = 503$ chia 4 dư 3.
Suy ra phương trình vô nghiệm.

Mình gợi ý đáp án và hướng làm bài 2 và 3 nhé.
Bài 2 kết quả là $\frac{2013\sqrt{2}}{2012}$ .
Gợi ý : Bình phương P lên rồi đặt đk cho dấu giá trị tuyệt đối, ko nên thay số vào ngay mà nên biến đổi trước.
Bài 3 kết quả là $x = 1 ; y = 2$ .
Gợi ý : Chuyển vế để thành một tổng bình phương cộng một căn thức. Suy ra được cả hai cái sẽ bằng 0. Lập được hệ phương trình và giải khá dễ dàng.

Một cách giải khác nhé :
Ta có :
$ad = bc \Rightarrow {a}^{n}{d}^{n} = {c}^{n}{b}^{n} $
$ \Rightarrow \frac{{a}^{n}}{{c}^{n}} = \frac{{b}^{n}}{{d}^{n}} = \frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$
Do phân số $\frac{{a}^{n} + {b}^{n}}{{c}^{n} + {d}^{n}}$ chưa tối giản ( nó bằng một phân số nhỏ hơn nó)
$\Rightarrow gcd({a}^{n} + {b}^{n} ; {c}^{n} + {d}^{n}) > 1$
Do đó, ${a}^{n} + {b}^{n} + {c}^{n} + {d}^{n}$ là hợp số.
Ps : Bài này do thầy Lê Hải Châu nghĩ ra đó.

Giải :
$M$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ .
P/s : lại một lời giải nữa rất ngắn gọn nhưng đâu biết làm thế nào . Vì em đo hết rồi .

S=0

Không hiểu bạn đo kiểu gì nhưng cái này đã không khoa học lại còn sai. Đi thi hsg chắc 0 điểm.

Làm như này:
Ta có:
$S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+.....+\frac{1}{2010.2011.2012}$
Xét $\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ ($n \in Z^+$)
$=\frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)}$
$=\frac{2}{n(n+1)(n+2)}$
Áp dụng:
$2S=\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+.....+\frac{2}{2010.2011.2012}$
$=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+. . .+\frac{1}{2020.2011}-\frac{1}{2011.2012}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4046132}$
$=\frac{2023065}{4046132}$
Do đó:
$S=\frac{2023065}{8092264}$

Bài này vừa mới thi máy tính cầm tay tỉnh Đồng Nai năm học 2011 - 2012 đó bạn

Mình không hiểu ý bạn định nói thế là sao ???

Sorry bạn. Mình ko để ý chỗ x.y Mình cứ tưởng là x;y nên dẫn đến sai lầm trên. Thành thật xin lỗi bạn.

Tìm số nguyên tố u,v sao cho ${u}^{4}$ + ${v}^{4}$ chia hết cho ${(u + v)}^{2} $

Cho phân số tối giản $\frac{p}{q}$ = $\frac{1}{1}$ + $\frac{1}{2}$ + .... + $\frac{1}{2006}$ + $\frac{1}{2007}$ (vế phải là tổng của những phân số mà các tử số đều bằng 1 và các mẫu số lần lượt là 2007 số nguyên dương đầu tiên : 1,2,3,...,2006,2007); Chứng minh p là số lẻ và q là số chẵn.

Xin giải bài 2b.
Vì ${x}^{2}$, ${y}^{2}$ là các số chính phương nên chia 8 dư 0,1, 4.
Suy ra 2${x}^{2}$ + ${y}^{2}$ chia 8 dư 0,1, 3, 4, 6.
Mà 1999 chia 8 dư 7.
Suy ra phương trình vô nghiệm nguyên.

Phần thuận :
Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác đều ABC. Đường tròn này có bán kính là OA. Kẻ đường kính AK. Đường kính AK cắt BC tại D. Lấy điểm M trong tam giác sao cho
$\hat{MAB}$ + $\hat{MBC}$ + $\hat{MCA}$ = ${90}^{0}$ . Ta có :
$\hat{MAB}$ = $\hat{BCK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BK) X
Suy ra $\hat{BCK}$ + $\hat{MBC}$ + $\hat{MCA}$ = ${90}^{0}$ (1)
Lại có $\hat{ACK}$ = ${90}^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow $ $\hat{BCK}$+$\hat{MCB}$+$\hat{MCA}$ = ${90}^{0}$ (2)
Từ (1), (2)$\Rightarrow $$\hat{MBC}$ =$\hat{MCB}$$\Rightarrow $ MBC cân tại M $\Rightarrow $ MB = MC $\Rightarrow $M nằm trên đường trung trực của BC
Phần đảo

Vẽ đường trung trực AD của tam giác đều ABC. Lấy điểm M bất kì trên AD (M khác A và D). Ta có :
Tam giác ABC đều nên đường trung trực đồng thời là tia phân giác $\Rightarrow$$\hat{MAB}=$${90}^{0}$
M nằm trên đường trung trực của BC nên MA = MB $\Rightarrow$ tam giác MBC cân tại M
$\Rightarrow $$\hat{MBC}$=$\hat{MCB}$
Mà $\hat{MCB}$+$\hat{MCA}$=${60}^{0}$
$\Rightarrow $ $\hat{MBC}$+$\hat{MCA}$=${60}^{0}$
Khi đó : $\hat{MAB}$+$\hat{MCA}$+$\hat{MCA}$ = ${30}^{0}$ + ${60}^{0}$ = ${90}^{0}$
*Kết luận : Quỹ tích của M là đường trung trực AD của tam giác đều ABC. Nếu M trùng A hoặc M trùng D thì bài toán vô nghiệm.

Do em mới giai nhập diễn đàn nên kĩ năng gõ Latex và cách đăng hình vẽ em còn nhiều thiếu sót. Do đó, em đã đính kèm lời giải chi tiết và hình vẽ trong file Word. Mong ban quản trị thông cảm cho em
 Hình vẽ và lời giải chi tiết.doc   161.5K   301 Số lần tải

Chỗ đánh dấu X đỏ là chỗ em đã sai. Em vô tình thừa nhận A,M,K thẳng hàng rồi lại chứng minh chúng thẳng hàng!!!
S=0