Jasper3601

1) $\int_{3}^{0}\frac{dx}{(x-2)^{4}}$

2) $\int_{3}^{0}\frac{dx}{x\left ( lnx \right )^{2}}$

3) $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{x\left ( lnx \right )^{2}}$

4) $\int_{-\infty }^{+\infty } sinx dx$

Bổ sung thêm một cách làm:
(có sử dụng một số kết quả chứng minh của bạn Mylovemath)


1) Dựng hình bình hành ADKE.
N là trung điểm DE
=> K, N, A thẳng hàng và N là trung điểm của KA.

2) $\angle KEA + \angle EAD = 180^{\circ}$
$\angle BAC + \angle EAD = 180^{\circ}$
=> $\angle BAC = \angle KEA$

3) Có EK = AD = AB
EA = AC

4) Từ (2) và (3) suy ra tam giác ABC = tam giác EKA =>
$\left\{\begin{matrix} KA = BC\\ \angle ACB = \angle EAK \end{matrix}\right.$

5) Chứng minh được AN = 1/2 KA = 1/2 BC = IM (do tam giác BIC vuông tại I)

6) Tứ giác AICE nội tiếp => $\angle ACI = \angle AEI$
$\angle IAC = \angle IEC$
và $\angle AEI + \angle IEC = 45^{\circ}$

7) Có $\angle KAE + \angle IAC = \angle BCA + \angle IEC = \angle BCA + 45^{\circ} - \angle IEA = \angle BCA - \angle ICA + 45^{\circ} = \angle BCI + 45^{\circ}$

8) Mà $\angle BCI = \angle MIC$ => $\angle KAE + \angle IAC = \angle MIC + 45^{\circ} = \angle MIC + \angle AIE (do \angle AIE = 45^{\circ})$

9) Vậy góc NAI = MIA
(5) => NAIM là hình thang cân => AI song song với MN (đpcm)

Cho tam giác ABC với 2AB < AC. Dựng M, N lần lượt là các điểm nằm trên AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tam giác AMN và MN min.

Hạ $OM \perp Ox; ON \perp Oy$. M,N là vị trí cần dựng.

Song song chứ sao vuông góc nhỉ?

Tóm tắt cách giải như sau:
Tam giác ACO vuông tại C (do tc tiếp tuyến), có AC=4cm, OC=r=2cm => Tính được AO theo Pytagore là $\sqrt{20}$ cm.
Dựng CH vuông góc với AO (H thuộc AO) thì BC=2CH. Theo tính chất tam giác vuông:
CH x AO = AC x CO => CH = $\frac{AC\times CO}{AO}$
Từ đó tính được CH => Tính được BC

Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $MC$ cắt $DC$ tại $E$, từ $A$ kẻ đường thẳng song song $MD$ cắt $DC$ tại $F$. Lấy $I$ là trung điểm $EF$, đường thẳng $MI$ là đường thẳng cần dựng.

Quá hay. Nhưng mà vấn đề là suy nghĩ thế nào để tìm ra cách giải này?

Gọi vận tốc của tàu là x (km/h), vận tốc dòng nước là y (km/h). (0<x<y<24)
Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là 24 km/h, có nghĩa là: x + y = 24 (1)
Khi tàu chuyển động ngược dòng, nó có vận tốc: x - y
Chiếc bè chuyển động nhờ dòng nước, nên có vận tốc: y
Trong cùng một thời gian, vận tốc tỉ lệ thuận với quãng đường, nên: x - y = 3y (2)
Từ (1) và (2) ta có y = 4,8 km/h
x = 19,2 km/h

Bạn để ý: Khi đưa (2n+3) vào căn, thì ở trong căn, tử số là đa thức bậc 3, trong khi mẫu số (luôn dương) là một đa thức bậc 4 => Giới hạn là 0